Un solenoide sottile, di raggio $R$ e lunghezza $l$ costituito da $N$ spire è percorso da una corrente \(\displaystyle i(t) \) che cresce linearmente con il tempo tra i valori \(\displaystyle i_0 \) e \(\displaystyle i_f \), scorrendo in modo da creare un campo magnetico parallelo all'asse $z$ del solenoide. Con l'approssimazione del solenoide ideale, calcolare quando la corrente vale $i$:
(a) Il campo magnetico e il campo elettrico all'interno e all'esterno del solenoide.
Allora; in generale il campo magnetico di un solenoide è conosciuto e vale \(\displaystyle \mathbf{B}={\mu_0i(t)N}/{l} \ \mathbf{e}_z \) all'interno, ed è nullo all'esterno. Per quanto riguarda la funzione corrente: sappiamo che è lineare, ovvero \(\displaystyle i(t):=\alpha t+\beta \), con \(\displaystyle i(0)=\beta=i_0 \). Inoltre da \(\displaystyle i(t_f)=\alpha t_f+i_0=i_f \) posso leggere il valore di $alpha$.
Quindi posso pensare al campo elettrico, prodotto per induzione elettromagnetica dalla variazione del campo magnetico. Scelgo una sezione circolare di raggio $r$ e applico l'equazione di Faraday. Mi esce, se non ho errato con i conti, \[E(r)=-\frac{\mu_0N\alpha}{2l}r.\] Per analogia con l'altro problema mi viene da dire che il campo elettrico risulta essere circonferenziale, ma in realtà non ne sono sicuro. Inoltre se non sbaglio visto che il campo magnetico è costante il campo elettrico dovrebbe essere lo stesso sia all'interno che all'esterno. Possibile?
(b) Energia totale.
Siccome non c'è né polarizzazione né magnetizzazione, l'energia elettromagnetica si calcola da questo integrale: \[\int_{ovunque} \frac{1}{2}\left(\epsilon_0E^2+\frac{B^2}{\mu_0}\right)d\tau. \] In coordinate cilindriche viene una roba così: \[\int_0^R \left(\frac{\epsilon_0}{2}\frac{\mu_0^2N^2\alpha^2}{4l^2}r^2+\frac{1}{\mu_0}\frac{\mu_0^2i^2(t)N^2}{l^2}\right) (2\pi rl)dr=\frac{\epsilon_0\pi\mu_0^2N^2\alpha^2}{16l}R^4+\frac{2\pi\mu_0^2i^2(t)N^2}{\mu_0l}R.\] (c) Se al centro del solenoide è posto con asse parallelo all'asse del solenoide un anello di raggio $r$, resistività $rho$ e spessore $h$, calcolare la densità di corrente e la corrente totale che lo percorre.
Anche qua ho pensato alla legge di Ohm. Conosco già il campo, quindi \[\displaystyle \mathbf{J}=\mathbf{E}/\rho=-\frac{\mu_0N\alpha}{2l\rho}r. \] Per la corrente totale ho da fare un altro integralino. L'unica cosa che mi crea dubbi è questa: l'anello ha uno spessore $h$. Per la definizione di densità di corrente, la corrente totale è ottenuta dalla sua integrazione rispetto alla superficie della sezione, che è il solito cerchio. Come entra in gioco $h$?
per l'ultimo punto invece mi sai dire qualcosa?