Serie aventi un integrale improprio nel termine generale

[Nota]

Salve a tutti,
Apro questo post per chiedere una mano a chiunque ne sappia più di me su esercizi circa il carattere di una serie del seguente tipo, di cui davvero non riesco a capire il funzionamento:

$ sum_(n = \1) n int_(0)^(1/n) tan(tsqrt(t))/t dt $

Non sono riuscito a completare il simbolo di serie aggiungendo $ oo $ .

Non avendo mai visto questa sorta di esercizi prima di ora, ho tentato di fare mente locale e mi è parso ovvio il fatto che, per capire se la serie diverge o converge sarebbe stato necessario capire come si comportava l'integrale improprio. Ho allora proceduto a spezzarlo in due integrali, il primo con estremi 0;1 il secondo 1;1/n. Per quanto riguarda il primo è stato facile mostrarne la convergenza, ma il secondo mi pone difficoltà a livello concettuale per il fatto di avere non un valore fissato ma una variabile che dovrebbe (se ci ho capito qualcosa) interessarmi soltanto nel caso in cui

$ n rarr oo $

d'altraparte in questo caso 1/n tende a 0, e quindi avrei di fronte un integrale che va da 0 a 0.

Inoltre, immaginando di aver capito come si comporta l'integrale, ed immaginando di aver dimostrato che esso converga a 0, come potrei in tal caso confrontare nel termine generale della serie l'ordine di n, che tende a infinito, e quello dell'integrale, che tenderebbe a 0? Come potrei capire chi vince fra i due?

Ringrazio da ora, se esistono, quelle anime buone che mi aiuteranno.

[gugo82]

L’unico estremo che ti dà problemi è $0$; però ogni integrale $I_n = int_0^(1/n) (tan (t sqrt(t)))/t text( d) t$ è convergente in $0$, quindi non c’è nessun problema.

Per capire come si comporta la serie ti basta, ad esempio, studiare l’ordine di infinitesimo del termine generale, i.e. $n I_n$.
Per fare ciò, potresti pensare di sfruttare saggiamente il teorema della media o qualche risultato simile.
Prova.

[pilloeffe]

Ciao Nota,

A parte il fatto che l'hai scritta male (quella parentesi tonda non serve o, se proprio la vuoi mettere, va chiusa dopo il $\text{d}t $) la serie proposta è la seguente:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} n\int_{0}^{1/n} tan(t\sqrt(t))/t \text{d}t $

Per risolverla userei gli sviluppi in serie, per cui, trascurando i termini di ordine superiore, si ha:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} n [2/3 t^{3/2}]_0^{1/n} = 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} n 1/n^{3/2} = 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{1/2}$

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{\alpha}$ con $\alpha = 1/2 $ che è divergente; pertanto si conclude che la serie proposta è divergente.

[Nota]

Grazie ad entrambi per avermi aiutato.
Sono riuscito in fine a risolvere la serie semplificando il limite con De L'Hopital. Mi piacerebbe però capire meglio le strade che avreste seguito.

L’unico estremo che ti dà problemi è $0$; però ogni integrale $I_n = int_0^(1/n) (tan (t sqrt(t)))/t text( d) t$ è convergente in $0$, quindi non c’è nessun problema.

Per capire come si comporta la serie ti basta, ad esempio, studiare l’ordine di infinitesimo del termine generale, i.e. $n I_n$.
Per fare ciò, potresti pensare di sfruttare saggiamente il teorema della media o qualche risultato simile.
Prova.

Ciao gugo.
Non capisco perché dici che l'unico estremo problematico sarebbe 0. A me pare evidente che anche a 1/n succede qualcosa di strano all'interno dell'integrale e, per quanto sia riuscito ad arrivare al risultato, ancora non riesco a figurarmi per bene la questione di avere come primo estremo 0 e come secondo estremo un fattore che comunque tende a 0 quando ci interessa maggiormente nel determinare il carattere della serie, e cioè quando n tende a infinito.

Inoltre, non mi è neanche chiaro come avrei potuto utilizzare il teorema della media. Potresti imboccare la soluzione a questo poppante di analisi I?

Ciao Nota,

A parte il fatto che l'hai scritta male (quella parentesi tonda non serve o, se proprio la vuoi mettere, va chiusa dopo il $\text{d}t $) la serie proposta è la seguente:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} n\int_{0}^{1/n} tan(t\sqrt(t))/t \text{d}t $

Per risolverla userei gli sviluppi in serie, per cui, trascurando i termini di ordine superiore, si ha:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} n [2/3 t^{3/2}]_0^{1/n} = 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} n 1/n^{3/2} = 2/3 \sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{1/2}$

L'ultima scritta è la serie armonica generalizzata $\sum_{n = 1}^{+\infty} 1/n^{\alpha}$ con $\alpha = 1/2 $ che è divergente; pertanto si conclude che la serie proposta è divergente.

Scusami pilloeffe,
non è che potresti illustrare meglio come dovrei applicare gli sviluppi all'integrale per ottenere ciò che a cui arrivi tu? (Il mio dubbio più grande è circa cosa ci permette di applicare Taylor alla funzione all'interno di un integrale definito)

Grazie se vorrete aiutarmi

[pilloeffe]

Grazie ad entrambi per avermi aiutato.

Prego.

non è che potresti illustrare meglio come dovrei applicare gli sviluppi all'integrale per ottenere ciò che a cui arrivi tu? (Il mio dubbio più grande è circa cosa ci permette di applicare Taylor alla funzione all'interno di un integrale definito)

Dunque... Come dovresti sapere si ha:

$tan(x) = x + o(x^2) $

per $|x| < \pi/2 $. Sostituendo $t\sqrt{t}$ al posto di $x$ si ha:

$tan(t\sqrt{t}) = t\sqrt{t} + o(t^3) $

$tan(t\sqrt{t})/t = \sqrt{t} + o(t^2) $

per $ 0 < t < (\pi/2)^{2/3} $. Ora, dato che l'integrale è fra $0 $ e $1/n $ e si ha $1/n < (\pi/2)^{2/3} \quad \AA n >= 1 $, è lecito applicare lo sviluppo in serie e, trascurando l'$o$, scrivere $\sqrt{t} $ al posto della funzione integranda, che poi si integra facilmente e si perviene al risultato che ti ho già scritto nel mio post precedente.
Adesso ti propongo una variante dell'esercizio complicandolo:

$\sum_{n = 1}^{+\infty} n^p \int_{0}^{1/n} tan(t\sqrt(t))/t \text{d}t $

Determinare per quali valori del parametro $p $ la serie è convergente.