Sera a tutti,
avrei un problema con la definizione di integrale complesso perché applicandola mi accorgo che qualcosa non va.
In particolare mi è stata data la definizione di integralecomplesso lungo una parametrizzazione complessa nel piano di argand-gauss come:
$\int_a^b[u(x(t),y(t))+iv(x(t),y(t))][(dx)/(dt)+i(dy)/(dt)]dt$
volevo integrare z come proposto dal porfessore su un quadrato di vertici: 0,1,(1+i), i
ho parametrizzato i lati scrivendo
$\gamma_1=(t+i0), t\in[0,1] -> \gamma'=(1+i0)$
$\gamma_2=(1+it), t\in[0,1] -> \gamma'=(0+i)$
$\gamma_3=(t+i), t\in[0,1] -> \gamma'=(1+i0)$
$\gamma_4=(0+it), t\in[0,1] -> \gamma'=(0+i)$
Il fatto che integrando z=x+iy e sfruttando la parametrizzazione avrei:
$I_1=\int_0^1(t+i0)(1+i0)dt=1$ sfruttando il prodotto complesso
$I_2=\int_0^1(1+it)(0+i)dt=-1/2+i$
$-I_3=-\int_0^1(t+i)(1+i0)dt=-1/2-i$
$-I_4=-\int_0^1(0+it)(0+i)dt=-(-1)=1$
Cioè il totale sarebbe 1, invece dovrebbe essere zero.
Devo aver capito male la definizione o non saprei cosa sbaglio.
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Procedo con il secondo dubbio poiché il professore non ha risolto tale integrale seguendo la definizione data all'inizio,ma sfruttando la notazione semplificata che esce sviluppando i calcoli della prima definizione, ovvero:
$\int_\gamma(u+iv)(dx+idy)$
Che applicato al nostro semplice caso sarebbe:
$\int_\gamma(x+iy)(dx+idy)=\int_\gamma(xdx-ydy)+i\int_gamma(xdy+ydx)$
fin qua ci sono,poiché ha applicato la formula semplificata, però poi scrive:
$\int_\gammaxdx=\int_0^1xdx+\int_1^0xdx=0$
$\int_\gammaydy=\int_0^1ydy+\int_1^0ydy=0$
$\int_\gammaxdy=x(\int_0^1dy+\int_1^0dy)=0$
$...=0$
e quello che non comprendo è il motivo per cui ogni integrale su gamma diventi come somma di due integrali che corrono tra 0->1 e 1->0, non capisco come faccia a tirare fuori questi valori per gli estremi di integrazione.