Equazione diofantea lineare

Messaggioda RedJohn » 20/01/2019, 01:14

Salve a tutti, su un libro che parla di equazioni diofantee vi era il seguente esercizio:
Trovare le coppie X, Y appartenenti a N che soddisfino la seguente equazione:
$ 1/x + 1/y = 1/n $

Il libro continua dicendo che l'equazione è equivalente a:

$ (x - n)(y-n) = n^2 $

Il punto è che ho provato a fare i calcoli che mi dovrebbero portare dalla prima alla seconda forma ma non riesco a dimostrare l'identità...
Qualcuno sa come dimostrarla?
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Re: Equazione diofantea lineare

Messaggioda gugo82 » 20/01/2019, 02:01

Beh, a me pare basti prendere il denominatore comune e fare conticini da primo superiore.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: Equazione diofantea lineare

Messaggioda RedJohn » 20/01/2019, 13:40

Facendo l'mcm ottengo (se non sbaglio)
$ (x-n)(y-n) = xy $

Il punto è come posso fare a dire che xy è $ n^2 $ ?
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Re: Equazione diofantea lineare

Messaggioda axpgn » 20/01/2019, 16:07

Come detto da gugo82 ...

$1/x+1/y=1/n$

$(y+x)/(xy)=1/n$

$n(x+y)=xy$

$0=xy-nx-ny$

$n^2=xy-nx-ny+n^2$

$n^2=x(y-n)-n(y-n)$

$n^2=(x-n)(y-n)$
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