Foarma canonica di Jordan

[Beatrice filippelli]

Salve a tutti,
In questo esercizio ho trovato autovalori, autovettori, molteplicità geometria e algebrica, la matrice P e la forma canonica di Jordan, però non capisco come si fa a determinare quante catene ci sono e le rispettive lunghezze...
Qualcuno può aiutarmi?

[Bokonon]

Da quello che vedo nell'immagine i conti sono giusti e anche le considerazioni che hai scritto.
La matrice a blocchi associata è $ J=( ( 3 , 0 , 0 ),( 0 , 3 , 1 ),( 0 , 0 , 3 ) ) $
Un blocco unitario (associato a uno dei due autovettori) e un blocco di ordine 2 associato agli autovettori generalizzati.
La prima catena è "banale" perchè parte e resta l'autovettore. La seconda ha lunghezza due.
Cos'è che non ti torna?

[Beatrice filippelli]

Grazie per la risposta
Allora le catene sono due perché sono due i sottoblocchi di Jordan?
1 di lunghezza 1 perché è formata da una sola colonna mente 1 di lunghezza 2 perché è formata da due colonne?
Non capisco da cosa dipende la lunghezza...

[Bokonon]

Proviamo così. Immaginiamo di avere una funzione caratteristica del tipo $(lambda-3)^2(lambda-2)^4(lambda-4)=0$ e che esista un solo autovettore associato alle tre radici. Allora possiamo generare una catena di vettori generalizzati di lunghezza 2 a partire dall'autovettore associato a $lambda=3$ e una catena di vettori generalizzati di lunghezza 4 a partire dall'autovettore associato a $lambda=2$ mentre quella associata a $lambda=4$ sarà di lunghezza 1 (il suo autovettore "normale").
La matrice in forma canonica sarà $ J=( ( 3 , 1 , - , - , - , -,- ),( 0 , 3 , - , - , - , -,- ),( - , - , 2 , 1 , 0 , 0,- ),( - , - , 0 , 2 , 1 , 0,- ),( - , - , 0 , 0 , 2 , 1,- ),( - , - , 0 , 0 , 0 , 2,- ), ( - , - , - , - , - , -,4 )) $
Ho messo dei - al posto degli zeri solo per evidenziare i 3 blocchi.

Nell'esercizio però avevi tre radici coincidenti $lambda=3$ a cui corrispondevano 2 autovettori. Uno lo hai usato per associarlo ad un autovettore (catena di lunghezza 1) e l'altro per derivare due autovettori generalizzati (catena di lunghezza 2). Quindi anche se l'autovalore è lo stesso, immagini due blocchi.

$J=( ( 3 , -, - ),( - , 3 , 1 ),( - , 0 , 3 ) ) $

[Beatrice filippelli]

Ho capito grazie

[Bokonon]

Ho capito grazie

Prego.
Ma ti sei chiesta perchè poi "non usi" il secondo autovettore nella matrice P?
Infatti i due autovettori erano (-1,1,0) e (-1,0,1). Alla fine hai usato il primo per associarlo al blocco unitario ma hai usato l'autovettore (1,-2,1) per derivare l'autovettore generalizzato (1,0,0) ed hai associato questi ultimi al blocco di dimensione 2 nella matrice P.
Avresti potuto associare il (-1,0,1) al blocco unitario nella matrice P?
Da dove salta fuori (1,-2,1) e perchè?