calcolare il volume rispetto all'asse x

Messaggioda cri98 » 22/01/2019, 17:52

$y=2x^2 $
$ 0<=x<=5 $ e $y=0 $ rispetto all'asse $ x=6 $vale:
per calcolare il volume utilizzo la seguente formula:
$pi int_(a)^(b) (f(x))^2 dx =piint_(0)^(5) (2x^2)^2 $
in questo caso però devo determinarlo rispetto ad x=6 quindi necessito di un nuovo sistema di riferimento:
vecchio sistema di riferimento:
oxy
nuovo sistema di riferimento oXY.

$ { ( x=X+6 ),( y=Y ):} $
quindi:
$y=2x^2$ diventa:$ Y=2(X+6)^2$

sviluppandolo ottengo:
$Y=2(X^2+12X+36)=2X^2+24X+72$

adesso l'obiettivo è quello di determinare la X.
risolvendo l'equazione di secondo grado ottengo:
$X=-6$
$Y=X+6$
$X=Y-6$

adesso ponendo X=0 trovo le intersezioni tra grafico e asse Y.
$X=0$
$Y=6$

ottengo il seguente integrale:

$V=pi int_(6)^(? ) 2(X+6)^2 dx $

come trovo l'altro estremo di integrazione se a me ne torna solo uno?
ho provato a svolgere esercizi simili nel quale non compariva un'equazione di secondo grado è tutto mi torna.
in questo caso il procedimento è corretto o ha bisogno di qualche modifica?
Grazie a tutti per il vostro supporto :D
Ultima modifica di cri98 il 22/01/2019, 21:18, modificato 1 volta in totale.
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Re: calcolare il volume rispetto all'asse x

Messaggioda Bokonon » 22/01/2019, 20:31

cri98 ha scritto:y=2x^2 0<=x<=5 e y=0 rispetto all'asse x=6 vale:

Francamente potevi scrivere un po' meglio l'esposizione.
Ma se devo tirare ad indovinare, mi pare di capire che il problema chieda di ruotare la porzione di piano delimitata da $y=2x^2$ $x=0$ $x=5$ e $y=0$ attorno all'asse $x=6$
Se è così allora va bene traslare il tutto ma....
cri98 ha scritto:per calcolare il volume utilizzo la seguente formula:
$pi int_(a)^(b) (f(x))^2 dx =piint_(0)^(5) (2x^2)^2 $

...così ruoti il tutto attorno all'asse delle x.
Devi usare i gusci cilindrici
Bokonon
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Re: calcolare il volume rispetto all'asse x

Messaggioda pilloeffe » 23/01/2019, 03:08

Ciao cri98,
cri98 ha scritto:in questo caso il procedimento è corretto o ha bisogno di qualche modifica?

La seconda che hai detto... :wink:
(cit. da Quelo - Corrado Guzzanti - https://www.youtube.com/watch?v=jYQWVnKEFRk)
In questi casi consiglio sempre di fare un disegno per rendersi conto della situazione.
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Re: calcolare il volume rispetto all'asse x

Messaggioda cri98 » 24/01/2019, 17:00

salve ragazzi,
anzitutto grazie per le risposte.
mi scuso se il testo non è scritto chiaramente, ma da quanto riesco a desumere la$ y=2x^2$ viene fatta ruotare rispetto all'asse $ x=6.$
il risultato deve essere $ 425 pi$

Grazie! :smt023 :smt023
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Re: calcolare il volume rispetto all'asse x

Messaggioda Bokonon » 24/01/2019, 17:59

cri98 ha scritto:
il risultato deve essere $ 425 pi$

Sicuro?
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Re: calcolare il volume rispetto all'asse x

Messaggioda pilloeffe » 24/01/2019, 18:01

Beh, ma provaci no?
Il nuovo sistema di riferimento è corretto solo che, visto che la rotazione è rispetto alla retta verticale $x = 6 $ e non rispetto all'asse $x $ (di equazione $y = 0 $), se proprio vuoi continuare ad usare una formula similare a quella che hai citato, dovrai scrivere $ X = f(Y) $ ed usare una formula sul tipo della seguente:

$V = \pi \int_{c}^{d} [f(Y)]^2 dY $

Ripeto: prova a fare un disegno per renderti conto della situazione...
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Re: calcolare il volume rispetto all'asse x

Messaggioda Bokonon » 24/01/2019, 18:14

pilloeffe ha scritto:$V = \pi \int_{c}^{d} [f(Y)]^2 dY $

Anche così sarebbe sbagliato perchè il dominio non poggerebbe sull'asse di rotazione...

Ma perchè complicarsi la vita? Basta usare i gusci cilindrici e prendere il valore assoluto del risultato di:
$ 2piint_(-6)^(-1) 2x(x+6)^2 dx =375pi$
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Re: calcolare il volume rispetto all'asse x

Messaggioda pilloeffe » 24/01/2019, 18:42

Bokonon ha scritto:Anche così sarebbe sbagliato perchè il dominio non poggerebbe sull'asse di rotazione...

Non ho scritto che quella era la formula definitiva: è chiaro che occorre sottrarre il cilindro che si ha ruotando la figura, dato che la funzione $y = 2x^2 $ è per $ 0 <= x <= 5 $, mentre la rotazione è attorno all'asse $x = 6 $ per cui occorre tener conto della distanza $6 - 5 = 1 $... :wink:
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Re: calcolare il volume rispetto all'asse x

Messaggioda Bokonon » 24/01/2019, 19:04

pilloeffe ha scritto:Non ho scritto che quella era la formula definitiva:

Avresti scritto
$V = \pi \int_{c}^{d} ([f(Y)]^2-[g(Y)]^2) dY$ $=\pi \int_{c}^{d} ([f(Y)]^2-1) dY$
ovvero:

$ piint_(0)^(50) [(sqrt(y/2)-6)^2-1] dy =375pi$
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Re: calcolare il volume rispetto all'asse x

Messaggioda pilloeffe » 24/01/2019, 19:19

Bravo, però immaginavo che tu lo sapessi fare: avrei voluto che ci arrivasse cri98... :wink:
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