Sia \( X := (c_{00}, \| \cdot \|_{\infty} ) \) e si consideri la successione di mappe \( \{L_n \}_{n \in \mathbb{N}} \) tali che
\[ L_n : X \to \mathbb{R} \quad \quad \quad x \mapsto \sum_{k=1}^n x_k \quad \quad \forall \, \, x = \{ x_k \}_{k \in \mathbb{N}} \in c_{00} \]
1) Si dimostri che per ogni \( n \in \mathbb{N} \) la mappa \( L_n \) è lineare e continua. Se ne calcoli inoltre la norma.
2) Si dimostri che per ogni \( x \in X \) la successione \( \{ L_n(x) \}_{n \in \mathbb{N}} \subset \mathbb{R} \) è limitata e che esiste \( \lim_{n \to \infty} L_n(x) \). Dedurne che $X$ è di prima categoria in sé.
3) Sia
\[ E := \{ x \in X \mid |L_n(x) | \le 1 \, \, \forall \, \, n \in \mathbb{N} \} \]
Dimostrare che $E$ è chiuso e ha parte interna vuota e che vale \( X = \bigcup_{n \in \mathbb{N}} nE \).
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Indico con \( \mathbb{N} = \{ 1, 2, \dots \} \) l'insieme degli interi positivi.
\( c_{00} \) è l'insieme delle mappe da \( \mathbb{N} \) in \(\mathbb{R} \) definitivamente nulle cioè
\[c_{00} := \{ \{ a_k \}_{k \in \mathbb{N}} \mid a_k \in \mathbb{R} \, \, \forall \, \, k \in \mathbb{N} \text{ e } \exists \, \, M \in \mathbb{N} : a_m =0 \, \, \forall m > N \} \]
\( \| \cdot \|_{\infty} \) è l'usuale norma infinito cioè, presa \( x = \{ x_k \}_{k \in \mathbb{N}} \in c_{00} \), si ha
\[ \|x\|_{\infty} := \sup_{k \in \mathbb{N}} |x_k| \]
Diciamo che uno spazio topologico $X$ è di prima categoria in sé se si può scrivere come unione al più numerabile di una famiglia di sottoinsiemi rari. Diciamo che \( Y \subset X \) è raro se la sua chiusura non ha punti interni.
Se $X$ è uno spazio vettoriale, $E \subset X$ e $a \in \mathbb{R}$ l'insieme $aE$ è definito come
\[ aE := \{ ax \mid x \in E \} \]
\( c_{00} \) è l'insieme delle mappe da \( \mathbb{N} \) in \(\mathbb{R} \) definitivamente nulle cioè
\[c_{00} := \{ \{ a_k \}_{k \in \mathbb{N}} \mid a_k \in \mathbb{R} \, \, \forall \, \, k \in \mathbb{N} \text{ e } \exists \, \, M \in \mathbb{N} : a_m =0 \, \, \forall m > N \} \]
\( \| \cdot \|_{\infty} \) è l'usuale norma infinito cioè, presa \( x = \{ x_k \}_{k \in \mathbb{N}} \in c_{00} \), si ha
\[ \|x\|_{\infty} := \sup_{k \in \mathbb{N}} |x_k| \]
Diciamo che uno spazio topologico $X$ è di prima categoria in sé se si può scrivere come unione al più numerabile di una famiglia di sottoinsiemi rari. Diciamo che \( Y \subset X \) è raro se la sua chiusura non ha punti interni.
Se $X$ è uno spazio vettoriale, $E \subset X$ e $a \in \mathbb{R}$ l'insieme $aE$ è definito come
\[ aE := \{ ax \mid x \in E \} \]