Si consideri uno strumento derivato il cui valore all’epoca $T$ è $S_(T)^(n)$ ($S_T$ è il valore del sottostante alla scadenza $T$).
Ipotizzando che il sottostante segua un moto browniano geometrico($dS_{t} = \mu S_{t}dt + \sigma S_{t} dW_{t}$ con $dW_t$ processo di Wiener standard, $mu$ drift e $sigma$ variance rate), è dimostrabile che il prezzo al tempo $t$ ($t<=T$) ha la forma:
$h(t,T)*S_(t)^(n)$
(Evidentemente $S_t$ è il valore del sottostante in $t$ ed $h$ è funzione di $t$ e $T$).
Facendo uso dell’equazione (differenziale alle derivate parziali) di Black-Scholes-Merton, si ricavi l’equazione differenziale ordinaria soddisfatta da $h(t, T)$.
Qual è la condizione al contorno per $h(t, T)$?
Si mostri inoltre che:
$h(t, T)=e^(((1)/(2)sigma^2n(n-1)+r(n-1))(T-t))$
Dove $r$ è il tasso continuo annuo risk-free e $sigma$ è la volatilità del sottostante.
Nel fine settimana posterò la soluzione.