Ho come l'impressione che tu stia copia incollando da qualche parte, da degli appunti probabilmente. Non percepisco tu abbia consapevolezza dei contenuti dietro le parole che riporti più o meno mnemonicamente. Partirei senz'altro a lavorare su questo aspetto.
In ogni caso, ho capito. Il circuito è un circuito RLC con costanti fissate nel tempo, ossia, R (resistenza), L (induttanza) e C (capacità) sono quantità costanti nel tempo (da qui la tempo invarianza). Come ho detto, studiare la dinamica di sistemi complessi (questo, per la verità è piuttosto semplice) nel dominio del tempo è complesso e richiede la risoluzione di equazioni differenziali, a volte non troppo "amichevoli". Passare al dominio delle frequenze permette di trasformare il problema da differenziale ad algebrico, di risolverlo facilmente e di anti-trasformare la soluzione per tornare nel dominio del tempo.
Per fornire una dimostrazione un po' formale, del perchè le funzioni di trasferimento sono tipicamente "fratte", per sistemi LTI a parametri concentrati, come l'RLC, bisogna partire un po' da lontano.
Considererò un caso specifico, ma la stessa procedura vale anche per disposizioni diverse del circuito RLC e per le altre grandezze elettriche dinamiche di riferimento.
Innazitutto, la funzione di trasferimento nel dominio del tempo altro non è che la relazione che lega la tua "grandezza dinamica" (i.e. grandezza eccitazione/risposta nella tua declinazione) all'ingresso e all'uscita; in altri termini, la legge fisica che la descrive.
Consideriamo per il esempio il circuito:
Prendiamo la tensione come grandezza dinamica di riferimento e scriviamo un LKV per il circuito utilizzando le leggi costitutive del resistore (legge di Ohm) e dell'induttore (Faraday-Neumann-Lenz):
$ v(t)_i - Ri(t) - L (di(t))/(dt) = v(t)_u $
Viene utile qui provare ad esprimere la corrente i(t) in funzione della tensione in uscita $v(t)_u$. Per fare ciò, introduciamo la legge costitutiva del capacitore. la legge definisce che la carica accumulata agli estremi del capacitore è proporzionale alla tensione secondo una costante C detta "capacità del condensatore" e quindi secondo la seguente relazione:
$ q = C v $
Deriviamo ora ambo le parti per ottenere un'espressione funzione della corrente:
$ (dq)/(dt) = C (dv(t))/(dt) $ --> $ i(t) = C (dv(t))/(dt) $
Così che possiamo sostituire nel LKV la corrente con questa espressione. Facciamolo:
$ v(t)_i - RC (dv(t)_u)/(dt) - LC (d^2 v(t)_u)/(dt^2) = v(t)_u $
Abbiamo così ottenuto un'espressione che lega tensione in ingresso (generatore) e tensione in uscita. Quest'espressione è un'equazione differenziale lineare del secondo ordine a coefficienti costanti e si può in principio risolvere analiticamente senza dover necessariamente passare al dominio delle frequenze attraverso trasformate.
A noi interessa tuttavia utilizzare Laplace.
Facciamolo:
$ L { v(t)_i - RC (dv(t)_u)/(dt) - LC (d^2 v(t)_u)/(dt^2) } = L { v(t)_u } $
Da cui, per le proprietà della trasformata di Laplace (puoi trovarne un elenco per esempio qui:
https://it.wikipedia.org/wiki/Trasforma ... riet%C3%A0 ; tali proprietà possono essere dimostrate a partire dalla definizione di Trasformata ) si ottiene (NB: con le lettere maiuscole indichiamo le variabili trasformate e con s la variabile indipendente nel dominio delle frequenze):
$ V(s)_u = V(s)_i - RC s V(s)_u - LC s^2 V(s)_u $
Cioè:
$ V(s)_i = V(s)_u + RC s V(s)_u + LC s^2 V(s)_u $ --> $ V(s)_i = V(s)_u ( 1 + RC s + LC s^2 ) $ -->
$ V(s)_u = (V(s)_i) /( 1 + RC s + LC s^2 ) $ (1)
Facciamo ora un passo indietro. Consideriamo che si possa scrivere la relazione tra ingresso e uscita nel dominio del tempo sempre come:
$ v(t)_u = h(t) * v(t)_i $
Dove h(t) è la risposta impulsiva nel tempo (i.e. risposta all'impulso a Delta di Dirac) tra uscita e ingresso e il simbolo * sta per il "prodotto di convoluzione", anzichè l'operazione standard di moltiplicazione. Spiegare questa proprietà è parecchio complicato. In sostanza, si può dimostrare che la risposta ad un qualunque input (gradino, triangolare, a onda quadra, ecc.) si possa esprimere come convoluzione della risposta impulsiva e il segnale di ingresso stesso.
Ricordando che la trasformata di Laplace di un prodotto di convoluzione è il prodotto tra i due segnali, si ottiene:
$ V(s)_u = H(s) V(s)_i $ (2)
Nota: la Trasformata di Laplace di un segnale impulsivo è uguale a 1. Ergo, se il segnale in ingresso v(t)_i è impulsivo, V(s)_i=1, ergo il segnale in uscita V(s)_u è esattamente pari a alla funzione di trasferimento H(s).
Nel nostro caso del RLC, comparando (2) con (1) si ottiene:
$ H(s) = 1/(1+sV(s)_u+s^2V(s)_u$
Ergo, la funzione di trasferimento come una funzione fratta.
Come anticipato, la trattazione non è molto diversa per circuiti RLC in serie, CR, e così via.