Ciao a tutti, ho un problema con il seguente esercizio. Non saprei se la prima parte l'ho fatta corretta, mentre la seconda ho qualche dubbio su come iniziarla.
Sia X una variabile casuale con supporto $S_X = [0,1]$ e funzione di densità di probabilità di forma $p_x (x) = ce^x$ per $x in S_X$ e 0 altrove. Si completi la definizione della funzione di densità di X, determinando il valore della costante di normalizzazione c. Si calcoli la funzione di ripartizione di X, esplicitandone tutti i suoi tratti. Si ottengano mediana e moda di X. Sia infine $T = X^2$. Si ottengano supporto e funzione di ripartizione di T e si calcoli $P(T = 0.62)$.
Per prima cosa ho risolto l'equazione $1 = \int_0^1 ce^x dx$ trovando che $c = 1/(e-1)$
$F_X (x) = {(1/(e-1) e^x,if x in [0,1]),(0,if x notin [0,1]):}$
Dopo di che ho calcolato la funzione di ripartizione nei vari tratti:
Caso $x < 0$
$\int_-infty^x 0 dx = 0$
Caso $0 <= x <= 1$
$\int_-infty^0 0 dx + \int_0^x 1/(e-1) e^x dx = 0 + (e^x -1)/(e-1) = (e^x -1)/(e-1)$
Caso $x > 1$
$\int_-infty^0 0 dx + \int_0^1 1/(e-1) e^x dx + \int_1^x 0 dx= 0 + 1 + 0 = 1$
Quindi
$F_X (x) = {(0,if x<0),((e^x -1)/(e-1),if 0<= x <= 1),(1,if x>1):}$
Ho calcolato la moda:
$p(0) = (e^0)/(e-1) = 0.58$
$p(1) = (e^1)/(e-1) = 1.58$
Qui però p(1) viene un valore maggiore di 1, qual'è l'errore?
E la mediana:
$(e^x -1)/(e-1) = 1/2$ trovando che $x = log((e+1)/2) = 0.27$
E qui vorrei capire se fino ad adesso ho fatto tutto giusto. Ora invece è la parte dove non saprei come comportarmi.
Mi viene detto che $T = X^2$, quindi semplicemente me lo ricavo facendo $(1/(e-1) e^x)^2$?
Invece per trovare il supporto di T cosa devo fare?
Grazie in anticipo