integrale definito trigonomentrico

Messaggioda carlovalori » 11/02/2019, 20:17

salve ho alcuni problemi che riguardano gli integrali di questa forma.

$ int_(0)^(π/6) cos(3x) * sin^2(7x) dx $

Grazie per l' aiuto.

Ps: Solitamente questa tipologia di integrali la risolvo con le formule di prostaferesi, questo però avendo le potenze non mi porta a poterle usare. Ho provato anche a risolverlo per parti ma riesco solo ad incasinarmi di piu.
carlovalori
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 9 di 16
Iscritto il: 03/02/2017, 17:45

Re: integrale definito trigonomentrico

Messaggioda feddy » 11/02/2019, 20:30

Hai provato a scrivere $\sin^2(7x)=\frac{1-\cos(14x)}{2}$ ?
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2429 di 2491
Iscritto il: 26/06/2016, 01:25
Località: Italia

Re: integrale definito trigonomentrico

Messaggioda carlovalori » 11/02/2019, 21:13

sinceramente avevo messo nel dimenticatoio questa forma, scrivendo in questa forma dovrei spezzare l integrale in due e poi continuare con le formule di prostaferesi in questo caso $cos(x)cos(y)=1/2((cos(x+y)+cos(x-y))$
carlovalori
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 10 di 16
Iscritto il: 03/02/2017, 17:45

Re: integrale definito trigonomentrico

Messaggioda feddy » 11/02/2019, 21:37

Sì, potresti. Ora non ho tempo, ma di sicuro esistono vie più veloci
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2432 di 2491
Iscritto il: 26/06/2016, 01:25
Località: Italia

Re: integrale definito trigonomentrico

Messaggioda pilloeffe » 12/02/2019, 03:00

Ciao carlovalori,

La strada che ti ha già indicato feddy è quella giusta, infatti si ha:

$ \int cos(3x) sin^2(7x) \text{d}x = \int cos(3x) \frac{1 - cos(14x)}{2} \text{d}x = 1/2 \int cos(3x) \text{d}x - 1/2 \int cos(3x) cos(14x) \text{d}x = $
$ = 1/6 sin(3x) - 1/44 sin(11x) - 1/68 sin(17x) + c $

Perciò per l'integrale definito proposto si ha:

$ \int_{0}^(\pi/6) cos(3x) sin^2(7x) \text{d}x = [1/6 sin(3x) - 1/44 sin(11x) - 1/68 sin(17x)]_0^{\pi/6} = 1/6 + 1/88 - 1/136 = 383/2244 $

In generale si cerca sempre di ricondursi agli integrali seguenti, che sono piuttosto standard:

\begin{equation}
\boxed{
\begin{split}\int \sin(mx)\cos(nx) \text{d}x & = -\dfrac{m \cos(m x) \cos(n x) + n \sin(m x) \sin(n x)}{m^2 - n^2} + c =\\
& = -\dfrac{(m + n) \cos[(m - n)x] + (m - n) \cos[(m + n)x]}{2(m^2 - n^2)} + c
\end{split}}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{
\begin{split}\int \sin(mx)\sin(nx) \text{d}x & = \dfrac{n \cos(n x) \sin(m x) - m \cos(m x) \sin(n x)}{m^2 - n^2} + c =\\
& = \dfrac{(m + n) \sin[(m - n)x] - (m - n) \sin[(m + n) x]}{2(m^2 - n^2)} + c
\end{split}}
\end{equation}
\begin{equation}
\boxed{
\begin{split}\int \cos(mx)\cos(nx) \text{d}x & = \dfrac{m \cos(n x) \sin(m x) - n \cos(m x) \sin(n x)}{m^2 - n^2} + c =\\
& = \dfrac{(m + n) \sin[(m - n) x] + (m - n)\sin[(m + n) x]}{2(m^2 - n^2)} + c
\end{split}}
\end{equation}

ovviamente validi se $m^2 \ne n^2 $
Ultima modifica di pilloeffe il 12/02/2019, 10:45, modificato 1 volta in totale.
pilloeffe
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2517 di 2724
Iscritto il: 07/02/2017, 16:45
Località: La Maddalena - Modena

Re: integrale definito trigonomentrico

Messaggioda feddy » 12/02/2019, 08:47

Ģrazie pilloeffe per il check :)
Avatar utente
feddy
Advanced Member
Advanced Member
 
Messaggio: 2435 di 2491
Iscritto il: 26/06/2016, 01:25
Località: Italia

Re: integrale definito trigonomentrico

Messaggioda carlovalori » 12/02/2019, 11:50

siete la luce in fondo al tunnel. Grazie per la continua disponibilità.
carlovalori
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 11 di 16
Iscritto il: 03/02/2017, 17:45


Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Encina, Google [Bot], Google Adsense [Bot] e 10 ospiti