Mephlip ha scritto:...
Però perché? Cosa succede se siamo in un'unione di intervalli anziché in un intervallo?
Mi viene da pensare che, unendo intervalli, si possano perdere proprietà importanti (forse la derivabilità
); se non ricordo male, non tutte le proprietà di una funzione mantengono quando si "incollano" intervalli.
...
La risposta al perché la soluzione di una equazione differenziale la si consideri solo su un intervallo non sta nel fatto che potrebbero perdersi delle proprietà della soluzione.
Non è neanche questione di definizione, ma è qualcosa che sta a un livello di
significatività maggiore.
Cosa è una equazione differenziale? E' un marchingegno matematico col quale si vuole ad esempio (certo questo è ben lungi dall'essere l'unico caso, ma uso questo per comodità del discorso) scoprire quali valori assuma una grandezza a vari istanti. Per esempio, quanta acqua contiene un serbatoio in questo istante, o fra un'ora(*), o quanto varierà nella prossima mezz'ora, etc.
Quale è il grimaldello, l'idea CHIAVE per arrivarci? E' seguire "passo passo" l'evoluzione della grandezza. Ovvero, cercare di capire quale sia il valore della grandezza al tempo $t+\Delta t$, partendo dal suo valore al tempo $t$ più qualche altra informazione (rubinetti aperti, fori da qualche parte, etc). Con l'idea che, quanto è più piccolo $\Delta t$, più precisi saremo (il buon vecchio Leibniz ci sta urlando in un orecchio di usare $dt$). Ovviamente non basta poter connettere il valore che la grandezza assume al tempo $t$ con quello a $t+\Delta t$: servirà poter passare dal valore all'istante $t + \Delta t$ a quello assunto all'istante $t + 2\Delta t$, ... Ma per poter fare questi passaggi si richiede che non ci siano "buchi" in mezzo. Insomma, dobbiamo essere su un INTERVALLO. Se c'è un buco, ci salta la connessione.
Quindi è per aderire a questa idea di fondo che la definizione di soluzione per una equadiff richiede che essa sia prima di tutto una funzione definita su un intervallo.
E questo alla faccia di tutti quelli (me compreso) che dicono sempre che le definizioni in matematica sono completamente arbitrarie (magari evitando di grazia di introdurre contraddizioni). E' vero che sono arbitrarie, ma di certe definizioni non sappiamo che farcene, se non sono riconducibili a qualcosa di sensato.
Spero di essere stato sufficientemente confuso
(*) Vedi qui:
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.htmil pdf
http://www.fioravante.patrone.name/mat/ ... _intro.pdfPS: dimenticavo,
prego!