Mephlip ha scritto:modalità nasconde pietosamente il fatto di non aver visto la mancanza del limite
Allora supponiamo che l'OP intendesse proporre il limite seguente:
$\lim_{x \to +\infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) $
Dato poi che ha senso anche calcolarsi il $\lim_{x \to -\infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) $, li possiamo risolvere tutti e due, che ha anche una maggiore valenza didattica:
$\lim_{x \to +\infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) = \lim_{x \to +\infty} \frac{(sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))(sqrt(4x^2 + 4) + sqrt(x^2 - 5))}{(sqrt(4x^2 + 4) + sqrt(x^2 - 5))(2x + 5)} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{4x^2 + 4 - x^2 + 5}{|x|(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x + 5)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 9}{|x|(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x + 5)} $
Ora, siccome $x \to +\infty $ siamo ragionevolmente sicuri che sia positivo, per cui possiamo omettere il modulo e scrivere:
$ \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 9}{x(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x + 5)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 + 9}{(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2x^2 + 5x)} = $
$ = \lim_{x \to +\infty} \frac{3 + 9/x^2}{(sqrt(4 + 4/x^2) + sqrt(1 - 5/x^2))(2 + 5/x)} = \frac{3}{(sqrt(4) + sqrt(1))(2)} = 1/2 $
Naturalmente se invece $x \to -\infty $ al posto di $|x| $ si dovrà scrivere $- x $ e quindi si otterrà $- 1/2 $
In definitiva si ha:
$ \lim_{x \to \pm \infty} (sqrt(4x^2 + 4) - sqrt(x^2 - 5))/(2x + 5) = \pm 1/2 $
con ovvio significato dei simboli.