da TS778LB » 14/02/2019, 10:40
Dire se converge la seguente serie: $ sum[sen(sen(n))]^ n $. Ho difficoltà sia nel verificare la condizione necessaria sia nell'utilizzare il criterio della radice in quanto in entrambi i casi non sono in grado di risolvere il limite per $ n->\infty $. Ho poi un altro dubbio: quando nel termine generale di una serie ho un $ logn $ in forma semplice, solitamente sfrutto la relazione $ logn<\sqrtn $ per poi usare il teorema del confronto. Ad esempio $ \frac{logn}{n^2}<\frac{sqrtn}{n^2}=\frac{1}{n^(3/2} $. Quello che mi chiedo è per quali esponenti $ \alpha $ vale $ logn<n^\alpha $. Se ad esempio ho una serie di termine generale : $ \frac{logn}{(n^5+1)^(1/4) $ ed effettuo le maggiorazioni $ \frac{logn}{(n^5+1)^(1/4)}<\frac{\sqrtn}{n^(5/4}}=\frac{1}{n^(3/4)} $ non otterrei alcun risultato significativo per il criterio del confronto. Se invece maggioro in questo modo: $ \frac{logn}{(n^5+1)^(1/4)}<\frac{n^(1/5)}{n^(5/4}}=\frac{1}{n^(21/20)} $ ottengo la convergenza della serie di partenza. Il risultato del libro riporta che la serie converge per il teorema del confronto. Forse devo applicare quello asintotico?