È possibile avere uno spazio normato compatto(per ricoprimenti) relativamente alla topologia indotta dalla norma?
Ho mostrato inizialmente che uno spazio metrico $(X,d)$ avente diametro infinito non può essere compatto; in genere, per qualche suo punto, uno spazio coincide con $bigcup_(n inNN)B(x,n)$1 da cui non è possibile estrarre alcun sottoricoprimento finito quando il diametro è infinito.
Consideriamo ora uno spazio normato $(X,norm(*))$ avente almeno un vettore $x$ con norma non nulla
$n norm(x)=norm(nx-0)leq s u p_((z,y) inX)norm(z-y)$ per ogni $n in NN$
quindi il diametro è infinito.
Sto delirando?
- $B(x,n)$ indica la palla aperta di centro $x$ e raggio $n$ ↑