Apro questo topic per cercare di risolvere un dubbio sulla dimostrazione di una proposizione proposto dal libro che sto utilizzando (Elementi di Matematica I - A. Alvino, G. Trombetti).
La proposizione è la seguente:
Un sottoinsieme C di R è chiuso e limitato se e soltanto se ogni successione di elementi di C ammette una sottosuccessione convergente ad un elemento di C
La Dimostrazione proposta:
=>) Sia C chiuso e limitato; se {An} è una successione di elementi di C da essa, per la prop. 9 (Teorema di Bolzano-Weierstrass) è possibile estrarre una successione convergente il cui limite, per la prop. 7 (Un sottoinsieme C di R è chiuso se e solo se ogni successione di elementi di C ha per limite un elemento di C), appartiene a C.
Fin qui nulla di strano, d'altra parte mi pare che l'ipotesi per cui C sia limitato non sia necessaria per arrivare a tale risultato, in quanto se C è chiuso, per la prop.7 citata sopra, si ha che ogni successione di elementi di C converge ad un elemento di C, e pertanto ogni sottosuccessione di queste successioni converge allo stesso elemento. (D'altronde penso che il testo della proposizione voglia intendere "almeno una sottosuccessione..." e non "una ed una sola"). Quindi immagino che la nozione di limitatezza sia necessaria soltanto per il viceversa.
Ora iniziano i problemi
<=) Viceversa, supponiamo che da ogni successione di elementi di C è possibile estrarre una successione convergente il cui limite è in C. Allora per le prop. 7, sù citata, e 8 (Ogni sottosuccessione di una successione regolare è regolare e risulta inoltre che i loro limiti coincidano) C è chiuso.
Il mio dubbio sta proprio nella sezione appena riportata della dimostrazione, poiché:
Noi sappiamo che da ogni successione di elementi di C è possibile estrarre una successione convergente il cui limite è in C. Sulla base di questo il libro utilizza la prop.7 per dimostrare che C è chiuso, per farlo però abbiamo bisogno di sapere che ogni successione di elementi di C ha per limite un elemento di C, ed allora viene chiamata in discussione la proposizione 8 che dovrebbe risolvere la situazione. D'altronde la proposizione 8 ci dice che se An è una successione regolare, allora ogni sua sottosuccessione e regolare ed il limite di quest'ultima coincide con quello di An e non che, se una sottosuccessione di An converge ad un valore c, allora anche An converge a tale valore. Anzi, sappiamo bene che una successione An non convergente, ma limitata, ammette almeno una sottosuccessione convergente.
Ringrazio anticipatamente chiunque mi saprà dire, se ce ne saranno
, dov'è che sbaglio e perché la prop.7 può essere di fatto utilizzata "al contrario".
