Propongo la soluzione della parte analitica del problema.
Per me, la parte fisica ha un testo ambiguo e preferisco tralasciarla (fornendo solo qualche indicazione in merito)... Anzi, gradirei fossero gli esperti fisici del forum a dare un loro parere in merito.
@melia ha scritto:PROBLEMA 1Assegnate due costanti reali a e b (con a>0), si consideri la funzione q(t) così definita:
$q(t)=at*e^(bt)$
1. A seconda dei possibili valori di a e b, discutere se nel grafico della funzione q è presente un punto di massimo o di minimo. Determinare i valori di a e b in corrispondenza dei quali il grafico della funzione q(t), in un piano cartesiano di coordinate $(t,y)$, ha un massimo nel punto $B(2,8/e)$.
La funzione $q(t):= ate^{bt}$ è definita ovunque in $RR$, continua e derivabile quante volte si vuole.
Per $b=0$ la funzione assegnata coincide con la funzione lineare $q(t)=at$, dunque il suo grafico è noto e possiamo tralasciare di analizzare cosa accade in questo caso: nel seguito supporremo sempre $b!=0$.
La funzione assegnata è positiva per $t>0$, negativa per $t<0$ e nulla in $t=0$, dato che il suo segno dipende unicamente dal segno di $t$.
Agli estremi del dominio si ha:
\[
\begin{split}
\lim_{t\to -\infty} q(t) &= \begin{cases} 0 &\text{, se } b > 0 \\ -\infty &\text{, se } b < 0 \end{cases} \\
\lim_{t\to +\infty} q(t) &= \begin{cases} +\infty &\text{, se } b > 0 \\ 0 &\text{, se } b < 0 \end{cases}
\end{split}
\]
ed il grafico:
- ha un asintoto orizzontale a sinistra di equazione $y=0$ (asse delle ascisse) se $b>0$;
- presenta un asintoto orizzontale a destra di equazione $y=0$ (asse delle ascisse) se $b<0$;
- in nessun caso (a parte $b=0$) è dotato di asintoto obliquo, in quanto $q(t)$ va all'infinito in $+-oo$ (a seconda del segno di $b$) più velocemente di un esponenziale.
La derivata prima è:
\[
q^\prime (t) = a(1+bt)e^{bt}
\]
e risulta:
\[
q^\prime (t) \geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad 1+bt\geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad bt \geq -1\; ;
\]
quindi, discutendo l'andamento al variare del parametro $b$ otteniamo:
- se $b>0$: $q^\prime (t) >= 0$ per $t >= -1/b$, quindi $q$ è strettamente crescente per $t >= -1/b$, strettamente decrescente per $t <= -1/b$ ed ha un minimo assoluto in $t = -1/b$;
- se $b<0$: $q^\prime (t) >= 0$ per $t <= -1/b$, quindi $q$ è strettamente crescente per $t <= -1/b$, strettamente decrescente per $t >= -1/b$ ed ha un massimo assoluto in $t = -1/b$.
La derivata seconda è:
\[
q^{\prime \prime} (t) = ab(2+bt)e^{bt}
\]
quindi:
\[
q^{\prime \prime} (t) \geq 0 \qquad \Leftrightarrow \qquad b^2 t \geq -2b\; ;
\]
dunque:
- per ogni $b!=0$ risulta \(q^{\prime \prime} (t) \geq 0\) se e solo se $t >= -2/b$, cosicché la funzione $q$ è strettamente convessa per $t >= -2/b$, strettamente concava per $t <= -2/b$ ed il grafico ha un flesso nel punto di ascissa $t= -2/b$.
Seguono i grafici di $q(t)$ con $a=1$ e $b=1$ (in
rosso) ed $a=2$ $b=-2/3$ (in
azzurro):
La $q$ ha massimo assoluto in $(2,8/e)$ solo se $b<0$ e risulta:
\[
\begin{cases}
-\frac{1}{b} = 2\\
-\frac{a}{e b} = \frac{8}{e}
\end{cases}
\]
da cui $b=-1/2$ ed $a=4$.
@melia ha scritto: 2. Assumendo, d’ora in avanti, di avere $a=4$ e $b=-1/2$ , studiare la funzione
$q(t)=4t*e^(- t/2)$
verificando, in particolare, che si ha un flesso nel punto $F(4,16/e^2 )$.
Determinare l’equazione della retta tangente al grafico nel punto F.
Lo studio della funzione $q$ con $b=-1/2$ ed $a=4$ ricade nello spettro di quelli esaminati in precedenza, quindi il grafico si può tracciare in maniera immediata:
L'equazione della retta tangente in $F$ si calcola sfruttando la formula $q = q^\prime (4)*(t - 4) + q(4)$ quindi ha equazione $q = -4/e^2 t + (32)/e^2$.
@melia ha scritto: 3. Supponendo che la funzione q(t) rappresenti, per t≥0, la carica elettrica (misurata in C) che attraversa all’istante di tempo t (misurato in s) la sezione di un certo conduttore, determinare le dimensioni fisiche delle costanti a e b sopra indicate. Sempre assumendo $a=4$ e $b=-1/2$ , esprimere l’intensità di corrente $i(t)$ che fluisce nel conduttore all’istante t; determinare il valore massimo ed il valore minimo di tale corrente e a quale valore essa si assesta col trascorrere del tempo.
Qui si vorrebbe spingere gli studenti a ricordare che $i(t)=q^\prime (t)$, immagino, ma non sono sicuro che ciò sia fisicamente corretto (per com'è scritto il testo non mi pare, ma potrei non aver capito bene la Fisica sottostante al problema); la stessa ambiguità influisce sull'analisi dimensionale delle costanti.
@melia ha scritto: 4. Indicando, per $t_0≥0$, con $Q(t_0)$ la carica totale che attraversa la sezione del conduttore in un dato intervallo di tempo $[0,t_0 ]$, determinare a quale valore tende $Q(t_0)$ per $t_0→+∞$.
Supponendo che la resistenza del conduttore sia $R=3Ω$, scrivere (senza poi effettuare il calcolo), un integrale che fornisca l’energia dissipata nell’intervallo di tempo $[0,t_0 ]$.
Anche qui si vorrebbe spingere gli studenti a "sommare" le cariche $q(t)$ sull'intervallo $[0,t_0]$, ossia a calcolare $Q(t_0) = int_0^(t_0) q(t) "d"t$, ma non sono sicuro che ciò sia fisicamente corretto.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)