Siano $I$ e $J$ ideali di una nello commutativo $A$ e si ponga
$[J:I]={x \in A | ax \in I \ per \ ogni\ a \in J}$
Si provi che tale insieme è un ideale di $A$ che contiene $I$
siano $h,k \in [J:I] $ allora $ah \in I$ e $ak \in I$ per ogni $a \in J$
si ha : $a(h-k)=ah-ak \in I $ ciò implica che $h-k \in [J:I]$
sia $ h \in [J:I]$ allora $ah \in I $ per ogni $a\in J$
per ogni $b \in A$ si ha : $a(bh)=b(ah) \in I$ (tale prodotto sta in $I$ in quanto $I$ è ideale di $A$) ciò implica che $bh \in [J:I]$
abbiamo così dimostrato che $[J:I]$ è ideale di $A$
non so come dimostrare che $I$ e contenuto in $[J:I]$. Ho pensato di dimostrare che ogni elemento di $I$ sta in $[J:I]$ ma non riesco a formalizzarlo. Grazie in anticipo per l'aiuto