Sfera su piano inclinato scabro

Messaggioda skiantosm » 15/03/2019, 19:54

Buonasera, avrei bisogno di un aiuto per questo esercizio.

Una sfera omogenea di raggio r=5cm e massa m=700g è mantenuta inizialmente ferma su un piano inclinato di angolo α=32°. C'è attrito tra piano e sfera, con coefficiente di attrito statico μs=0,6; la sfera si trova ad un'altezza h=63cm rispetto alla base del piano, che è raccordata opportunamente con un piano orizzontale, anch'esso scabro. All'istante iniziale la sfera viene lasciata libera di muoversi.
(a) si mostri che la sfera rotola lungo il piano inclinato e si calcoli la forza d'attrito durante il moto della sfera lungo il piano inclinato;
(b) Si calcoli la velocità del centro di massa quando la sfera raggiunge la base del piano

Come sistema di riferimento ho considerato "x" come l'ipotenusa del piano e "y" perpendicolare all'ipotenusa.
Ho scomposto le forze agenti sulla sfera ottenendo
$ x { mgsinα - μ_s N = ma $
$ y { mgcosα - N=0 $
Sostituendo ottengo che $ a= g(sinα-μ_s*cosα) $ quindi trovando a>0. In questo modo però ottengo che il moto non è rotatorio ma roto-traslatorio.
La forza d'attrito durante il moto è quindi $ f_s=μ_s N $

Per quanto riguarda il punto (b) ho utilizzato il bilancio dell'energia
$ mgh-μ_s* mgh* ctgα = 1/2 mv^2 + 1/2 Iw^2 $
Per trovare w ho considerato Ia relazione $ I*dw/dt=Rf_s $ , svolgendo i calcoli trovo $ dw/dt = 5/2 *(μ_s*cosα*g)/R $

Infine ho risolto il tutto con
$ {v_f=a_(cm)*t $ con $ a_(cm)= g(sinα - μ_s*cosα + 5/2*μ_s*cosα) $
$ {0=h- 1/2a_(cm)*t^2 $

Sostituendo $ t= sqrt(2h/a_(cm)) $ e svolgendo i calcoli trovo $ v= sqrt(2h*g(sinα+3/2*μ_s*cosα)) $

Purtroppo non conosco le soluzioni, perciò, avendo qualche dubbio su come ho svolto il problema vi chiedo una mano.
Grazie in anticipo per l'aiuto :D
skiantosm
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Re: Sfera su piano inclinato scabro

Messaggioda professorkappa » 16/03/2019, 00:58

Per il primo punto la forza di attrito nella prima equazione non e' corretta. Quello e' il valore massimo prima dello scivolamento.
Le equazioni sono
$mgsinalpha-F_a=mddotx$

e nel punto di contatto C, l'equazione di momento

$mgRsinalpha=I_Cddottheta$, con la condizione di puro rotolamento

$ddotx=Rddottheta$

Risolto il sistema nelle incognite $F_a$ ti basta verificare che sia $F_a<mu_SN$ per dimostrare che la sfera non slitta.

Per quanto riguarda il secondo punto, l'attrito non fa lavoro. Quindi per la conservazione dell'energia

$mgh=1/2I_Cdottheta^2+1/2mdotx^2$, da accoppiarsi ancora con $dotx=Rdottheta$ per poi risolvere tutto in $dotx$
Ed ero gia' vecchio quando vicino a Roma, a Little Big Horn, Capelli Corti generale ci parlo' all'Univerista dei fratelli Tute Blu che seppellirono le asce. Ma non fumammo con lui, non era venuto in pace
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Re: Sfera su piano inclinato scabro

Messaggioda skiantosm » 22/03/2019, 13:53

Grazie mille, mi scuso di aver risposto solo ora ma sono stato impegnato con un altro esame :?
C'è un altro punto del problema che non mi torna.
c) Nel tratto orizzontale, anch'esso scabro, la sfera urta un'asta disposta in orizzontale in un punto ad una quota γr rispetto all'orizzontale. Si calcoli il valore di γ affinché la sfera possa restare ferma dopo l'urto

non avendo informazioni sull'asta, oltre alla quota rispetto al piano orizzontale, non ho idea di come continuare perché (probabilmente sbagliando) credo che si debba risolvere con la conservazione dell'energia, ma credo di non avere dati a sufficienza per risolverla in questo modo
skiantosm
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