Avrei bisogno una mano per il punto 2, sulla differenziabilità di \(h\) in \(\mathbf{x}_0\)
Sia \( U \subset \mathbb{R}^n \) un aperto, non vuoto e \(W(U,\mathbb{R}^n) \) lo spazio di funzioni definite da \(U \) in \(\mathbb{R}^n \) e differenziabili in tutti i punti di \(U\).
1) Dimostrare che \(W \) è uno spazio vettoriale
2) Siano \(f,g: U \rightarrow \mathbb{R} \) differenziabili in \(\mathbf{x}_0 \in U \). Dimostrare che \(h:=fg \) è differenziabile in \(\mathbf{x}_0\) e che abbiamo
\[\operatorname{D}h(\mathbf{x}_0)=f(\mathbf{x}_0)\operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)+g(\mathbf{x}_0)\operatorname{D}f(\mathbf{x}_0) \]
2. Siano \( f,g,h\) come nell'enunciato allora abbiamo che per definizione
\[ \operatorname{D}h(\mathbf{x}_0)=\begin{pmatrix}
\frac{\partial h}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, \frac{\partial h}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} \]
Sia dunque \( 1\leq j \leq n \) abbiamo che
\[\frac{\partial h}{\partial x_j}(\mathbf{x}_0)=\lim\limits_{t\to 0} \frac{(fg)(x_1, \ldots,x_j + t, \ldots, x_n) -(fg)(x_1, \ldots , x_n)}{t} \]
\[ =\lim\limits_{t\to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)g(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j) + f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)g(\mathbf{x}_0)-f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)g(\mathbf{x}_0) -f(\mathbf{x}_0)g(\mathbf{x}_0)}{t} \]
\[ =\lim\limits_{t\to 0}f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j) \frac{g(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)-g(\mathbf{x}_0)}{t} + \lim\limits_{t\to 0}g(\mathbf{x}_0) \frac{f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)-f(\mathbf{x}_0)}{t} \]
\[ =\lim\limits_{t\to 0}f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)\lim\limits_{t\to 0} \frac{g(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)-g(\mathbf{x}_0)}{t} + g(\mathbf{x}_0) \lim\limits_{t\to 0} \frac{f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j)-f(\mathbf{x}_0)}{t} \]
Per continuita di \( f\) abbiamo che \( \lim\limits_{t\to 0}f(\mathbf{x}_0 + t \mathbf{e}_j) = f(\mathbf{x}_0) \) dunque
\[\frac{\partial h}{\partial x_j}(\mathbf{x}_0)=f(\mathbf{x}_0)\frac{\partial g}{\partial x_j}(\mathbf{x}_0)+g(\mathbf{x}_0)\frac{\partial f}{\partial x_j}(\mathbf{x}_0) \]
Siccome \( \mathbf{x}_0 \in U \) esiste \( \delta \) tale che \( B(\delta,\mathbf{x}_0) \subset U \) inoltre siccome \(f,g\) sono differenziabili in \(U\) sono continue in \( B(\delta,\mathbf{x}_0) \subset U \) e in piu abbiamo che in ogni punto \( \mathbf{x} \in B(\delta,\mathbf{x}_0) \) le derivate parziali di \(f\) e \(g\) esistono.
E per la scelta arbitraria di \( j \in \{ 1, \ldots ,n \} \) risulta che tutte le derivate parziali di \(h\) esistono per tutti i punti \( \mathbf{x} \in B(\delta,\mathbf{x}_0) \). Ora mi resterebbe da dimostrare che le derivate parziali di \(h\) sono continue in \( \mathbf{x}_0 \). Ma non so come fare in quanto non è necessariamente vero che le derivate parziali di \(f\) e \(g\) sono continue in \(\mathbf{x}_0\).
Una volta mostrato che \(h\) è differenziabile in \(\mathbf{x}_0\) posso concludere dicendo che per la scelta arbitraria di \( j \in \{ 1, \ldots ,n \} \), risulta:
\[ \operatorname{D}h(\mathbf{x}_0)=\begin{pmatrix}
f(\mathbf{x}_0)\frac{\partial g}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0)+g(\mathbf{x}_0)\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, f(\mathbf{x}_0)\frac{\partial g}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)+g(\mathbf{x}_0)\frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} \]
\[ =\begin{pmatrix}
f(\mathbf{x}_0)\frac{\partial g}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, f(\mathbf{x}_0)\frac{\partial g}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
g(\mathbf{x}_0)\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, g(\mathbf{x}_0)\frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} \]
\[ =f(\mathbf{x}_0) \begin{pmatrix}
\frac{\partial g}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, \frac{\partial g}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} + g(\mathbf{x}_0)\begin{pmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x_1}(\mathbf{x}_0), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(\mathbf{x}_0)
\end{pmatrix} \]
\[=f(\mathbf{x}_0)\operatorname{D}g(\mathbf{x}_0)+g(\mathbf{x}_0)\operatorname{D}f(\mathbf{x}_0) \]