Dalla matrice $A = ((1,3,0,2,1),(0,0,0,0,0),(1,2,0,2,1),(-1,-1,1,1,-1),(-1,-1,1,0,1))$ ottengo la matrice di Jordan
$J = ((0,1,0,0,0),(0,0,0,0,0),(0,0,1,1,0),(0,0,0,1,1),(0,0,0,0,1))$ con $P = ((-5,-10,-2,-3,0),(0,1,0,0,0),(-6,-8,-2,-3,0),(2,1,0,-1,-2),(1,0,0,0,1))$ , tale che $J=P^-1AP$ .
Devo determinare un vettore $w in QQ^5$ tale che $B={w,\phi(w),\phi^2(w),\phi^3(w),\phi^4(w)}$ è base di $QQ^5$ e trovarne la matrice associata.
So che un tale vettore (detto ciclico) esiste poichè polinomio minimo e caratteristico coincidono, $P_\phi(x) = x^2(x-1)^3$ .
So anche ricavare la matrice (detta la matrice compagna): $P_\phi(x)=x^5-3x^4+3x^3-x^2$ quindi
$C = ((0,0,0,0,0),(1,0,0,0,0),(0,1,0,0,1),(0,0,1,0,-3),(0,0,0,1,3))$ però non capisco come tirare fuori questo $w$ . Credo sia una stupidaggine ma non capisco come determinarlo