Tre numeri - III

Messaggioda axpgn » 19/03/2019, 01:35

Determinare quante soluzioni in interi positivi ha l'equazione $x+y+z=n$ con la condizione che siano soddisfatte le seguenti disequazioni $x<=y+z,\ \ \ \ y<=x+z,\ \ \ \ z<=x+y\ \ \ \ \ $ ($x, y, z in NN$)

Si considerano diverse le soluzioni che differiscono solo per l'ordine dei termini.


Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 13167 di 13346
Iscritto il: 20/11/2013, 23:03

Re: Tre numeri - III

Messaggioda Vincent46 » 03/04/2019, 20:08

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Per $n$ dispari: $\frac{1}{8}(n-1)(n+1)$.
Per $n$ pari: $\frac{1}{8}(n+2)(n+4)-3$.
Vincent46
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 219 di 247
Iscritto il: 26/01/2014, 18:27

Re: Tre numeri - III

Messaggioda axpgn » 04/04/2019, 00:43

@Vincent46

:smt023

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ma quante volte le hai cambiate? :-D
T'è andata bene che stavo facendo altro ... :lol:
Dimostrazione? :D


Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 13218 di 13346
Iscritto il: 20/11/2013, 23:03

Re: Tre numeri - III

Messaggioda Vincent46 » 04/04/2019, 11:03

axpgn ha scritto:@Vincent46

:smt023

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ma quante volte le hai cambiate? :-D
T'è andata bene che stavo facendo altro ... :lol:
Dimostrazione? :D


Cordialmente, Alex

Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Ahahah! Faccio le cose di fretta :-D

Dimostrazione: usando il fatto che i tre numeri sommino a $n$, si può riscrivere il sistema di disequazioni chiedendo che
tutti e tre siano non più grandi di $\frac{n}{2}$. D'altronde $z=n-(x+y)$ e quindi la terza disequazione si riscrive come $y \geq \frac{n}{2}-x$. Quindi i valori $(x,y)$ delle soluzioni andranno cercate all'interno del triangolo di coordinate $(0, \frac{n}{2}), (\frac{n}{2}, 0), (\frac{n}{2}, \frac{n}{2})$, bordo compreso. In particolare è necessario e sufficiente contare i punti a coordinate intere contenuti nel triangolo, perché il fatto che $x$ e $y$ siano interi assicura che anche $z$ lo sia. Per concludere si usa la formula per i numeri triangolari. O, nel caso di $n$ pari, si può usare il teorema di Pick :-D
Infine, fatto che le soluzioni vadano cercate fra le terne di numeri positivi vuol dire che non bisogna contare i punti corrispondenti ai vertici del triangolo, quindi, nel caso di $n$ pari, bisogna sottrarre $3$ soluzioni!
Vincent46
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 220 di 247
Iscritto il: 26/01/2014, 18:27

Re: Tre numeri - III

Messaggioda axpgn » 04/04/2019, 11:17

Benissimo! :D
Siccome è praticamente la stessa soluzione che avevo io, mi hai pure risparmiato la "fatica" di scrivere la mia :-D

Cordialmente, Alex
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 13219 di 13346
Iscritto il: 20/11/2013, 23:03


Torna a Scervelliamoci un po'

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 3 ospiti