da pilloeffe » 20/03/2019, 00:49
Attenzione... Il contributo per il versore $\mathbf i $ (per gli altri due versori il ragionamento è analogo) è il seguente:
\( \displaystyle \bigg[\dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, y, z)} \cdot \Delta x + o((\Delta x)^2)\bigg] \mathbf i \)
Ora se ci fai caso il termine iniziale che moltiplica $\Delta x $ ha solo $\hat x $ costante, quindi si tratta di una funzione di $y $ e $z $ che nel mio post precedente ho chiamato $g(y, z) $; è quest'ultima che viene sviluppata in serie di punto iniziale $P_0(\hat x, \hat y, \hat z) $ ottenendo così la formula alla fine di pagina 11:
\( \displaystyle g(y, z) := \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, y, z)} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} + \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \beta \Delta y + \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \gamma \Delta z + o((\Delta y)^2) + o((\Delta z)^2) \)
avendo posto $y = \hat y + \beta \Delta y $ e $z = \hat z + \gamma \Delta z $ con $|\beta| <= 1 $ e $|\gamma| <= 1 $
Perciò si ha:
\( \displaystyle \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, y, z)} \cdot \Delta x + o((\Delta x)^2) = \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \Delta x + \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \beta \Delta x \Delta y + \dfrac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \gamma \Delta x \Delta z + \, \)
\( \displaystyle + \, o(\Delta x(\Delta y)^2) + o(\Delta x(\Delta z)^2) + \, o((\Delta x)^2) = \)
\( \displaystyle = \dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \Delta x + \, o((\Delta x)^2) + \, o(\Delta x \Delta y) + \, o(\Delta x \Delta z) \)
avendo trascurato gli $o$ di ordine più elevato del secondo. In definitiva, per avere il contributo complessivo delle facce di normale $\mathbf i $ e $\mathbf{-i} $ occorre moltiplicare per la superficie $ \Delta y \Delta z $, ottenendo così proprio
\( \displaystyle \bigg{\{}\dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \Delta x \Delta y \Delta z + \Delta y \Delta z \cdot [o((\Delta x)^2) + o(\Delta x \Delta y) + o(\Delta x \Delta z)]\bigg{\}}\mathbf{i} = \)
\( \displaystyle = \bigg{\{}\dfrac{\partial f}{\partial x}\bigg|_{(\hat x, \hat y, \hat z)} \cdot \Delta x \Delta y \Delta z + \Delta x \Delta y \Delta z \cdot [o(\Delta x) + o(\Delta y) + o(\Delta z)]\bigg{\}}\mathbf{i} \)