Sia \( V \) uno spazio vettoriale di dimensione \(n \) su \( \mathbb{R} \) e siano \( f, g \in V^* - \{ 0 \} \) linearmente indipendenti. Dimostrare che \[ \dim ( \ker f \cap \ker g ) = n-2 \]
Dove \( V^* \) denota lo spazio duale di \( V \).
Questa la mia idea, secondo voi ci sono errori?
Sia \( B_V = \{ v_1, \ldots , v_n \} \) una base di \(V \) e sia \( B_{V^*} = \{ \phi_1, \ldots , \phi_n \} \) la base canonica di \( V^* \) dove abbiamo
\( \phi_j : V \rightarrow \mathbb{R} , v=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i v_i \mapsto \alpha_j \)
Preso un qualsiasi \( j \in \{ 1 , \ldots, n \} \) abbiamo che \( \ker \phi_j = \{ v \in V \mid \phi_j(v)=\alpha_j = 0 \} = \operatorname{span}(B_V - \{ v_j \} ) \)
Dunque data qualsiasi coppia di indici \( j, k \in \{ 1 , \ldots, n \} \) abbiamo che
\( \ker \phi_j \cap \ker \phi_k = \{ v \in V \mid \phi_j(v)= 0 \ \text{and}\ \phi_k(v)=0 \} = \operatorname{span}(B_V - \{ v_j,v_k \} ) \)
Generalizzando abbiamo che dati \( 1 \leq a < b \leq n \)
\( \bigcap\limits_{j=a}^{b} \ker \phi_j = \operatorname{span}(B_V - \{ v_a,\ldots,v_b \} ) \)
Pertanto abbiamo che per qualsiasi coppia di indici \( j, k \in \{ 1 , \ldots, n \} \) risulta che
\( \dim(\bigcap\limits_{\ell=1, \ell \neq j, \ell \neq k}^{n} \ker \phi_{\ell} ) + \dim(\ker \phi_j \cap \ker \phi_k) = 2 + (n-2) = n \) \( (1) \)
Dunque \( \bigcap\limits_{\ell=1, \ell \neq j, \ell \neq k}^{n} \ker \phi_{\ell} \oplus (\ker \phi_j \cap \ker \phi_k) = V \) \( (2) \)
Ora siccome per ipotesi \( f, g \) sono linearmente indipendenti possiamo estrarre una base di \( V^* \), che chiamerò \( C_{V^*} \) formata da \( f,g \) e da \( n-2 \) vettori della base \( B_{V^*} \). Pertanto abbiamo che
\( C_{V^*} = \{ f,g \} \cup (B_{V^*} - \{ \phi_j, \phi_k \}) \) per due certi indici \( j,k \in \{1,\ldots,n \} \)
È nelle conclusioni che non sono sicuro del mio ragionamento, ma non so come dimostrare quanto affermo qui di seguito
Abbiamo da \( (2) \) \( (\ker f \cap \ker g) \) è un supplementare di \( \bigcap\limits_{\ell=1, \ell \neq j, \ell \neq k}^{n} \ker \phi_{\ell} \) in \( V \) e pertanto risulta da \( (1) \) che
\( \dim(\ker f \cap \ker g) = n-2 \)