Spazio duale e dimensione del ker

[3m0o]

Sia \( V \) uno spazio vettoriale di dimensione \(n \) su \( \mathbb{R} \) e siano \( f, g \in V^* - \{ 0 \} \) linearmente indipendenti. Dimostrare che \[ \dim ( \ker f \cap \ker g ) = n-2 \]

Dove \( V^* \) denota lo spazio duale di \( V \).
Questa la mia idea, secondo voi ci sono errori?
Sia \( B_V = \{ v_1, \ldots , v_n \} \) una base di \(V \) e sia \( B_{V^*} = \{ \phi_1, \ldots , \phi_n \} \) la base canonica di \( V^* \) dove abbiamo
\( \phi_j : V \rightarrow \mathbb{R} , v=\sum\limits_{i=1}^{n}\alpha_i v_i \mapsto \alpha_j \)

Preso un qualsiasi \( j \in \{ 1 , \ldots, n \} \) abbiamo che \( \ker \phi_j = \{ v \in V \mid \phi_j(v)=\alpha_j = 0 \} = \operatorname{span}(B_V - \{ v_j \} ) \)
Dunque data qualsiasi coppia di indici \( j, k \in \{ 1 , \ldots, n \} \) abbiamo che
\( \ker \phi_j \cap \ker \phi_k = \{ v \in V \mid \phi_j(v)= 0 \ \text{and}\ \phi_k(v)=0 \} = \operatorname{span}(B_V - \{ v_j,v_k \} ) \)

Generalizzando abbiamo che dati \( 1 \leq a < b \leq n \)

\( \bigcap\limits_{j=a}^{b} \ker \phi_j = \operatorname{span}(B_V - \{ v_a,\ldots,v_b \} ) \)

Pertanto abbiamo che per qualsiasi coppia di indici \( j, k \in \{ 1 , \ldots, n \} \) risulta che
\( \dim(\bigcap\limits_{\ell=1, \ell \neq j, \ell \neq k}^{n} \ker \phi_{\ell} ) + \dim(\ker \phi_j \cap \ker \phi_k) = 2 + (n-2) = n \) \( (1) \)

Dunque \( \bigcap\limits_{\ell=1, \ell \neq j, \ell \neq k}^{n} \ker \phi_{\ell} \oplus (\ker \phi_j \cap \ker \phi_k) = V \) \( (2) \)

Ora siccome per ipotesi \( f, g \) sono linearmente indipendenti possiamo estrarre una base di \( V^* \), che chiamerò \( C_{V^*} \) formata da \( f,g \) e da \( n-2 \) vettori della base \( B_{V^*} \). Pertanto abbiamo che
\( C_{V^*} = \{ f,g \} \cup (B_{V^*} - \{ \phi_j, \phi_k \}) \) per due certi indici \( j,k \in \{1,\ldots,n \} \)

È nelle conclusioni che non sono sicuro del mio ragionamento, ma non so come dimostrare quanto affermo qui di seguito
Abbiamo da \( (2) \) \( (\ker f \cap \ker g) \) è un supplementare di \( \bigcap\limits_{\ell=1, \ell \neq j, \ell \neq k}^{n} \ker \phi_{\ell} \) in \( V \) e pertanto risulta da \( (1) \) che
\( \dim(\ker f \cap \ker g) = n-2 \)

[Reyzet]

La butto lì, userei il fatto che essendo funzionali non nulli sono suriettivi (immagine con dimensione 1) e i loro nuclei allora hanno dimensione $n-1$, a questo punto calcola $dim(kerf+kerg)$, penso abbia dimensione n per la lineare indipendenza (non posso provarlo adesso, ma penso sia così), usi grassmann e trovi che l'intersezione ha dimensione $n-1+n-1-n=n-2$. Però va provata quella cosa

[dissonance]

Sono d'accordo con Reyzet che si fa prima con la formula di Grassmann:
\[
\dim \ker(f)\cap\ker{g}=\dim \ker(f) + \dim \ker(g) - \dim \ker(f)+\ker(g), \]
quindi bisogna solo dimostrare che
\[
\dim \ker(f)+\ker(g)=n, \]
ed è qui che volendo si possono usare le basi duali come fa 3m0o nel primo post; infatti, si può trovare una base di \(V^\star\)
\[
\{\phi_1, \phi_2, \phi_3, \ldots, \phi_n\}, \]
tale che \(\phi_1=f, \phi_2=g\), perché \(f\) e \(g\) sono linearmente indipendenti. E quindi, nella base \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) di \(V\) tale che \(\phi_i(v_j)=\delta_{ij}\),
\[
\ker(f)= \{\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \ | \ \lambda_1=0\}, \qquad \ker(g)= \{\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \ | \ \lambda_2=0\},
\]
ed è chiaro che \(\ker(f)+\ker(g)=V\).

Mi dispiace non avere letto la dimostrazione dell'OP, probabilmente è giusta.

[3m0o]

Sono d'accordo con Reyzet che si fa prima con la formula di Grassmann:
\[
\dim \ker(f)\cap\ker{g}=\dim \ker(f) + \dim \ker(g) - \dim \ker(f)+\ker(g), \]
quindi bisogna solo dimostrare che
\[
\dim \ker(f)+\ker(g)=n, \]
ed è qui che volendo si possono usare le basi duali come fa 3m0o nel primo post; infatti, si può trovare una base di \(V^\star\)
\[
\{\phi_1, \phi_2, \phi_3, \ldots, \phi_n\}, \]
tale che \(\phi_1=f, \phi_2=g\), perché \(f\) e \(g\) sono linearmente indipendenti. E quindi, nella base \(v_1, v_2, \ldots, v_n\) di \(V\) tale che \(\phi_i(v_j)=\delta_{ij}\),
\[
\ker(f)= \{\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \ | \ \lambda_1=0\}, \qquad \ker(g)= \{\sum_{k=1}^n \lambda_k v_k \ | \ \lambda_2=0\},
\]
ed è chiaro che \(\ker(f)+\ker(g)=V\).

Mi dispiace non avere letto la dimostrazione dell'OP, probabilmente è giusta.

Si ho capito, il fatto è questo
Ponendo una base \( B_V = \{ v_1, \ldots, v_n \} \) di \( V \) e la base canonica di \( V^* \) come sopra \( B_{V^*} = \{ \phi_1, \ldots, \phi_n \} \), e dati due vettori \( f,g \in V^* \), linearmente indipendenti posso estrarre una base che contiene \( f, g \) e \( n-2 \) vettori di \( B_{V^*} \), per semplicità supponiamo \( C_{V^*} = \{ f,g, \phi_3, \ldots, \phi_n \} \). La mia domanda è questa.
Siccome \( f \in V^* \) allora \( f = \sum\limits_{i=1}^{n} \beta_i \phi_i \) dove \( \beta_i \in \mathbb{R} \) sono i coefficienti (non tutti nulli) di \( f \) per rapporto alla base \( B_{V^*} \) e \( g = \sum\limits_{i=1}^{n} \gamma_i \phi_i \) dove \( \gamma_i \in \mathbb{R} \) sono i coefficienti (non tutti nulli) di \( g \) per rapporto alla base \( B_{V^*} \)
Allora siano i vettori \( v_f, v_g \in V \) tale che \( v_f= \sum\limits_{i=1}^{n} \beta_i v_i \) e \( v_g= \sum\limits_{i=1}^{n} \gamma_i v_i \) è vero che \( C_V = \{ v_f , v_g , v_3, \ldots, v_n \} \) è una base di \( V \) ?
Se si, è vero che la base duale \( C_{V^*} \) in rapporto a \( C_V \) rende \( f= \phi_1 \) e \( g=\phi_2 \) (con un abuso di notazione)

[dissonance]

(In italiano "par rapport à" si traduce "rispetto a", non "per rapporto a").

La domanda è mal posta: se scrivi \(C_{V^\star}=\{f, g, \phi_2, \ldots, \phi_n\}\), allora \(f=\phi_1, g=\phi_2\), e quindi quando dopo scrivi
\[
f=\sum_{i=1}^n \beta_i \phi_i, \]
in realtà \(\beta_1=1, \beta_2=0, \ldots, \beta_n=0\). E quindi, la definizione di \(v_f\) si riduce a \(v_f=v_1\), ma \(v_1, v_2\) sono precisamente i vettori che volevi costruire. Insomma, non hai costruito proprio niente.

Io in realtà non farei una costruzione esplicita dei vettori \(v_1, v_2, v_3, \ldots v_n\). Data la base \(C_{V^\star}=\{f, g, \phi_3\ldots \phi_n\}\) di \(V^\star\), esiste una base \(C_V=\{v_1, v_2, \ldots v_n\}\) di \(V\) tale che
\[
\phi_i(v_j)=\delta_{ij}, \]
dove \(\phi_1=f, \phi_2=g\), perché è un teorema di teoria. Non occorre costruire esplicitamente tale base \(C_V\).

Se proprio vuoi costruirla, ci possiamo pensare, ma non sono sicuro che basti modificare due vettori di \(B_V\). Secondo me c'è da modificarli tutti.

[3m0o]

(In italiano "par rapport à" si traduce "rispetto a", non "per rapporto a").

La domanda è mal posta: se scrivi \(C_{V^\star}=\{f, g, \phi_2, \ldots, \phi_n\}\), allora \(f=\phi_1, g=\phi_2\), e quindi quando dopo scrivi
\[
f=\sum_{i=1}^n \beta_i \phi_i, \]
in realtà \(\beta_1=1, \beta_2=0, \ldots, \beta_n=0\). E quindi, la definizione di \(v_f\) si riduce a \(v_f=v_1\), ma \(v_1, v_2\) sono precisamente i vettori che volevi costruire. Insomma, non hai costruito proprio niente.

Io in realtà non farei una costruzione esplicita dei vettori \(v_1, v_2, v_3, \ldots v_n\). Data la base \(C_{V^\star}=\{f, g, \phi_3\ldots \phi_n\}\) di \(V^\star\), esiste una base \(C_V=\{v_1, v_2, \ldots v_n\}\) di \(V\) tale che
\[
\phi_i(v_j)=\delta_{ij}, \]
dove \(\phi_1=f, \phi_2=g\), perché è un teorema di teoria. Non occorre costruire esplicitamente tale base \(C_V\).

Se proprio vuoi costruirla, ci possiamo pensare, ma non sono sicuro che basti modificare due vettori di \(B_V\). Secondo me c'è da modificarli tutti.

Onestamente non ho idea di quale teorema parli (come si chiama?), sono abbastanza sicuro che non abbiamo visto quel teorema di esistenza, quindi se lo uso lo devo dimostrare. Comunque forse non ho ben capito, oppure forse mi sono spiegato male prima, ma non sono d'accordo infatti consideriamo \( V^* \) rispetto a \( B_{V^*} \), in questa base \( f = \sum\limits_{i=1}^{n} f(v_i)\phi_i \) dove \( B_V = \{ v_1, \ldots, v_n \} \) è una base di \(V \) e \( B_{V^*} = \{ \phi_1, \ldots, \phi_n \} \) è una base di \(V^* \) e \( f(v_i):=\beta_i \in \mathbb{R} \). E in questa base \( f \neq \phi_1 \), stesso discorso per \( g \)
Ad esempio \( f = \phi_1 + \phi_2 \) e \( g = 2 \phi_1 \) sono linearmente indipendenti tra loro. Posso quindi costruire una base \( C_{V^*} = \{ f, g , \phi_3 , \ldots, \phi_n \} \).
\( B_{V^*} \) è LA base duale di \( B_V \) ma \( C_{V^*} \) è una base DEL duale \( V^* \), (a questo stadio non ho cambiato la base di \( V \) quindi considero sempre \( f= \phi_1 + \phi_2 \) ), mi chiedevo appunto se esisteva una base di \( V \), chiamata \( C_V=\{ w_1, \ldots, w_n \} \) rispetto alla quale la base \( C_{V^*} \) è LA base duale di \( C_V \) e dunque se esiste (apparentemente esiste per quel teorema che menzionavi ma che non conosco) un tale \( C_V \) allora \( f(w)= \alpha_1 \) per \( V \ni w = \sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_i w_i \)
E mi chiedevo pure come era fatta questa base \( C_V \).

Edit
Cioé \( f\begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^{n} \alpha_i w_i \end{pmatrix} = \alpha_1 \) mentre invece \( f\begin{pmatrix} \sum\limits_{i=1}^{n} \xi_i v_i \end{pmatrix} = \xi_1 + \xi_2 \)


Dove \( (\alpha_1 \ldots \alpha_n)^T = [ w ]_{C_V} \) mentre \( (\xi_1 \ldots \xi_n)^T = [ w ]_{B_V} \) e \( w \in V \)

[dissonance]

È il teorema di esistenza delle basi duali, ma al contrario: di solito uno dice che, data una base di \(V\), esiste una corrispondente base di \(V^\star\), ma è vero pure il viceversa, con la stessa dimostrazione. Data una base di \(V^\star\) esiste una base di \(V\) che ne è la duale.

La dimostrazione è questione di risolvere un sistema di equazioni lineari. Sia data una base \(\phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_n\) di \(V^\star\), allora una sua base duale è un insieme \(\{v_1, v_2, \ldots, v_n\}\) di vettori di \(V\) tali che
\[
\begin{bmatrix} \phi_1(v_1) & \phi_1(v_2) & \ldots & \phi_1(v_n) \\ \ldots & \ldots & \ldots &\ldots \\ \phi_n(v_1) & \phi_n(v_2) &\ldots & \phi_n(v_n) \end{bmatrix} = I.\]
Qui \(I\) è la matrice identità. Se espandi questo sistema di equazioni in coordinate, vedrai che esso ha una e una sola soluzione, perché \(\phi_1, \phi_2, \ldots, \phi_n\) formano una base di \(V^\star\).

[dissonance]

Comunque, stavo pensando che in realtà il problema è molto più semplice. Risolviamolo prima per \(V=\mathbb K^n\), nel qual caso \(V^\star=\mathbb K^n\); adottiamo la convenzione che i vettori si interpretano come colonne, mentre le forme lineari si interpretano come righe, e una forma lineare agisce su un vettore per moltiplicazione;
\[
\phi\in V^\star,\ x\in V,\quad\iff\quad \phi=\begin{bmatrix} \phi_1 & \phi_2 & \ldots \phi_n\end{bmatrix},\ x=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\\vdots \\ x_n\end{bmatrix}, \]
e per definizione \(\phi(x)=\phi x\) (prodotto riga per colonna).

Ora, il testo ci dà due forme lineari \(f, g\) linearmente indipendenti, ovvero due righe di numeri tali che
\[
\begin{bmatrix} f_1 & f_2 & \ldots & f_n \\ g_1 & g_2 & \ldots & g_n \end{bmatrix} \ \text{ha rango massimo.}\]
Ci chiede la dimensione di \(\ker(f)\cap\ker(g)\), ovvero la dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema
\[
\begin{bmatrix} f_1 & f_2 & \ldots & f_n \\ g_1 & g_2 & \ldots & g_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n\end{bmatrix}=0.\]
La risposta è immediata dal teorema di Rouché-Capelli: tale dimensione è uguale a \(n-2\).

Il caso generale, in cui \(V\) non è necessiamente \(\mathbb K^n\) ma uno spazio vettoriale astratto, segue subito dal rappresentare i vettori in una base e le forme lineari in una base ad essa duale.