Un insieme $K\subset \mathbb{R}^{n}$ è chiuso e limitato (compatto) se e solo se ogni successione $\{x_{h}\}_{h\in \mathbb{N}}\subset K$ ammette un'estratta convergente a $x\in K$
In particolare, stavo leggendo l'implicazione $\Rightarrow$. Si parte col costruire l'estratta convergente della successione $\{x_{h}\}_{h}$.
Se pongo $\forall h\in \mathbb{N}$
\[
x_{h}=(x_{1,h},...,x_{n,h})
\]
Posso dire che $\{x_{1,h}\}_{h\in\NN}$ è limitata e ammette un'estratta $\{x_{1,h_{k}}\}_{k\in \NN}$ convergente a $x_{1}$. Ora il secondo passo consisterebbe nel considerare la successione $\{x_{2,h_{k}}\}_{h}$, che risulta limitata e da questa considerare un'estratta $\{x_{2,h_{k_{i}}}\}_{i\in \NN}$ convergente a $x_{2}$.. Da qui si itera questo ragionamento e si determina l'estratta.
La mia domanda è: ogni volta che passo ad una nuova componente muto le estratte precedenti. Questo non comporta problemi perché l'estratta di una successione convergente è sempre convergente e converge sempre allo stesso limite? Inoltre, sapreste consigliarmi un modo un po' meno pesante di scrivere ciò?
Grazie in anticipo