Ovviamente sì, il processo è aleatorio, non deterministico e quindi la particella può fare 1,2,3...m passi una direzione e poi 1,2,3,...,k passi nell'altra, nulla cambia...ma qui mi pare che siamo ad un livello molto inferiore dei processi stocastici; per curiosità, che tipo di background hai? che studi stai facendo? Quali sono i testi sui quali stai studiando?
Ad esempio, per la passeggiata aleatoria in esame
$X_n={{: ( -1 , q ),( 1 , p ) :}$
è facile trasformarla in una bernulliana con una semplice trasformazione lineare
$Y_n=(X_n+1)/2={{: ( 0 , q ),( 1 , p ) :}$
ma siccome sappiamo dalla teoria
1 che la somma di $n$ bernulliane indipendenti è una Binomiale, allora
$Sigma_nY_n=Sigma_n(X_n+1)/2$
$Sigma_nX_n=(2Sigma_nY_n)-n$
e quindi, per le proprietà del valore atteso, anche
$mathbb{E}[Sigma_nX_n]=2mathbb{E}[Sigma_nY_n]-n$
$mathbb{E}[Sigma_nX_n]=2np-n=n(2p-1)$
da cui è evidente che, per $n rarr oo$, se $p=1/2$ il valore atteso è zero, se $p>1/2$ il valore atteso è $+oo$ mentre se $p<1/2$ il valore atteso è $-oo$
EDIT:
Se i passi sono diversi da $+-1$ o asimmetrici poco cambia; qualunque variabile dicotomica può essere riportata ad una bernulliana con la procedura descritta e quindi è possibile ricavare la distribuzione della somma come una binomiale con supporto modificato.
La procedura descritta serve ovviamente a calcolare tutta la distribuzione della somma. Se invece si è solamente interessati al calcolo della media allora, anche senza tutta questo ragionamento, basta utilizzare le proprietà di linearità del valore atteso.