Tensore di stress-energia

Messaggioda pat87 » 20/11/2009, 01:19

Salve a tutti voi.
Da buon matematico come sono, a volte mi imbatto in definizioni puramente fisiche che faccio un po' difficoltà ad inquadrare esattamente. Parliamo di relatività generale e più precisamente del tensore di stress-energia (stress-energy tensor). Tensore simmetrico di tipo $(0,2)$, $T_(ab)$, descive il flusso di energia e quantità di moto associato ad un campo, e soddisfa la seguente relazione

$\nabla_a T^(ab)=0$ (nella sua forma covariante). (1)

Quindi:
- il flusso di energia è descritto da un osservatore con 4-velocità $v$ da $T_(ab)v^av^b \ge 0$.
- se $x$ è ortogonale al quadrivettore $v$, abbiamo che $T_(ab)v^ax^b$ misura la quantità di moto in direzione $x$.
- dall'equazione (1) è possibile estrapolare le leggi fisiche del moto dei corpi.

Ora non capisco diverse cose:
1) Abbiamo definito il tensore $T_(ab)$ per la fluidodinamica e per l'elettromagnetismo. Sono definizioni univoche? Ad esempio, per l'elettromagnetismo, se l'avessi definito in modo diverso, mi porterebbe inequivocabilmente al fatto che le equazioni del moto (leggi di Maxwell) sarebbero diverse? Inoltre come mai è simmetrico il tensore?
2) Come mai questo tensore è strettamente dipendente dalla metrica? E come mai è così dipendente dal tensore di Riemann (tramite l'equazione di campo di Einstein)?

Grazie mille :-)
$Gal(QQ(root(3)(2),e^{(2\pi*i)/3}):QQ) \cong S_3$
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Re: Tensore di stress-energia

Messaggioda francox » 25/03/2019, 16:16

1) Abbiamo definito il tensore $T_(ab)$ per la fluidodinamica e per l'elettromagnetismo. Sono definizioni univoche? Ad esempio, per l'elettromagnetismo, se l'avessi definito in modo diverso, mi porterebbe inequivocabilmente al fatto che le equazioni del moto (leggi di Maxwell) sarebbero diverse? Inoltre come mai è simmetrico il tensore?
2) Come mai questo tensore è strettamente dipendente dalla metrica? E come mai è così dipendente dal tensore di Riemann (tramite l'equazione di campo di Einstein)?


1. Nella teoria della relatività il tensore è simmetrico.
In sostanza è simmetrico perchè non è anti-simmetrico, ma questo non è proprio corretto, è simmetrico perchè la relazione anti-simmetrica è un sotto-insieme della relazione simmetrica e quindi le relazioni anti-simmetriche sono una generalizzazione delle relazioni simmetriche. Infatti dire che 2 elementi sono simmetrici a=b e b=a equivale a parlare di coppia non-ordinata
https://en.wikipedia.org/wiki/Unordered_pair
parlare di relazioni anti-simmetriche equivale invece a parlare di coppie ordinate in cui a=b ma b≠a a meno che a = b
https://en.wikipedia.org/wiki/Ordered_pair

La ragione per cui le relazioni anti-simmetriche sono un sotto-insieme e del perchè esistono le relazioni simmetriche è richiesto dall' Assioma della coppia
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_pairing

Dati due insiemi, c'è un insiemi cui membri sono esattamente i due insiemi dati

Questo è possibile grazie all'assiome dell'estensionabilità
https://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_extensionality

Quindi prima c'è la necessità di un ordine (relazione antisimmetrica come generalizzazione delle r.simmetriche) e solo dopo la non-necessità di ordine (relazione simmetrica come specificazione), questo grazie all'assioma della coppia.
Pensandoci bene il tensore simmetrico è definibile come un tensore 'virtuale', cioè grazie all'assioma della coppia non è piu necessaria la presenza di un (pre)ordine, cioè è basta che sia un ordered set
http://mathworld.wolfram.com/OrderedSet.html
ma come condizione sufficiente ma non come condizione necessaria
https://en.wikipedia.org/wiki/Necessity_and_sufficiency

simmetrico: sufficiente, ma non necessario ('virtuale')
anti-simmetrico: necessario, ma auto-sufficiente (reale)

2. Perchè è dipendente dalla metrica?
metric tensor is an example of a tensor field

3. Perchè è così dipendente dal tensore di Riemann ?

Per via della rappresentazione che si usa. Ad esempio
https://math.stackexchange.com/question ... a-manifold

il gruppo di matrici forma una varietà (manifold), ma mai uno spazio euclideo...chiediti perchè restiamo nella geometria non-euclidea..
francox
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Re: Tensore di stress-energia

Messaggioda Palliit » 26/03/2019, 11:38

@francox: il post a cui hai risposto risale al 2009 d.C. , e l'ultima visita dell'utente che ha posto la domanda al 19/01/2011. Il necroposting è da evitare. Chiudo.
Palliit
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