Ciao a tutti, sono nuovo nel forum. Vorrei proporvi un esercizio preso dal tema d'esame per l'ammissione della Laurea Magristale alla SISSA. Scusate per eventuali problemi di scrittura o quant'altro.
(a) Sia $f:(0,+\infty)\rightarrow\mathbb{R}$ una funzione differenziabile con derivata $f'$ uniformemente
continua su $(0,+\infty)$. Provare che se esiste il limite $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) = L$ finito allora $\lim_{x\rightarrow+\infty} f'(x) = 0$.
(b) Dire se la conclusione precedente continua a valere assumendo solo che $f'$ è di classe
$C^1((0, +∞), R)$.
Il punto (b) è chiaramente falso, per vederlo considero la funzione $f(x)=\sin(x^2)/x$: si ha che $\lim_{x\rightarrow+\infty} f(x) =0$, mentre si ha $f'(x)=2\cos(x^2)-\sin(x^2)/x^2$, la quale è continua in $(0,+\infty)$ e si ha che non esiste il limite $\lim_{x\rightarrow+\infty} f'(x)$.
Mentre non sono riuscito a dimostrare il punto (a), ho pensato di ragionare per assurdo. Se il limite di $f'(x)$ esiste per $x\rightarrow\+infty$ si ottiene banalmente che tale limite è $0$.
Mentre se suppongo che il limite non esiste sono riuscito a provare che esiste una sottosuccessione convergente $x_n$ tale che $\lim_{n\rightarrow+\infty} f'(x_n) = 0$, usando lo stesso ragionamento usato nel caso in cui il limite esiste.
Vorrei qualche suggerimento su come usare l'ipotesi di uniforme continuità per provare il risultato (a).
Grazie a tutti!