Il teorema in questione è il seguente.
Siano \(\mathcal A\) e \(\mathcal B\) due gruppi. Per ogni omomorfismo \(f \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B\) esiste uno e un solo omomorfismo \(\phi : \frac{\mathcal A}{\ker f} \mapsto \mathcal B\) per cui \[f=\phi \circ \lambda_f\,,\] dove \(\lambda_f \colon \mathcal A \mapsto \frac{\mathcal A}{\ker f},\, x \mapsto x\ker f\).
Mi interessa provare solo l'esistenza di una siffatta funzione (tutto il resto è semplice) perché la giustificazione che ho trovato scritta in giro mi soddisfa poco. Prendo in esame la relazione \[\phi:=\bigg\{(u,v) \in \frac{\mathcal A}{\ker f} \times \mathcal B \mid \exists x \in \mathcal A \colon \big(\lambda_f(x)=u \land f(x)=v\big)\bigg\}\,.\] \(\phi\) è una funzione:
- Per definizione stessa di \(\phi\), per ogni \(u \in \frac{\mathcal A}{\ker f}\) esiste almeno un \(v \in \mathcal B\) per cui \((u,v) \in \phi\).
- Questa \(v\) è unica. Infatti per ogni \(w \in \mathcal B\) se \((u,v) \in \phi\) allora esiste almeno un \(y \in \mathcal A\) tale che \(u=\lambda_f(y)=y\ker f\) e \(f(y)=w\). Ma è anche \(u=x\ker f\), quindi \(y \in x\ker f\), ovvero esiste almeno un \(k \in \ker f\) per cui \(y=xk\). Pertanto \[w=f(y)=\underbrace{f(xk)=f(x)f(k)}_{f \colon \mathcal A \mapsto \mathcal B\text{ omomorfismo}}=f(x)=v\,.\]