Buonasera a tutti,
vi scrivo perché ho alcuni dubbi riguardanti la determinazione a priori delle proprietà della trasformata di Fourier nella teoria \(L^2\)
In teoria \(L^1\) si sapeva che data \( f(x) \) continua, derivabile a tratti e tendente a 0 a \( \pm \infty \) la sua trasformata di Fuorier \( \hat{f} (\xi) \) è \( o(1/ \xi ) \) per \( xi \rightarrow \pm \infty \) esiste qualcosa di 'simile' in teoria \(L^2\) ?
La domanda nasce dal fatto che mi sono ritrovato a F-trasfomare la seguente funzione \(f(x)=x/(x^2+1)\)
Di cui di seguito è presente l'analisi a priori dal libro di testo
non riesco a capire che legame c'è tra il fatto che la funzione sia infinitamente derivabile e che \( \hat{f} (\xi ) \) è \( o(1/ \xi^n)\) \( \xi \rightarrow \pm \infty \) . Infine mi risultano poco chiare anche le varie relazioni di inclusione che portano a dire che \( \hat{f} ( \xi ) \in L^1\)