esercizio su endomorfismi nilpotenti

Messaggioda arianna.luzi » 12/04/2019, 18:42

Salve avrei bisogno di una mano per questa dimostrazione, non so come procedere:
siano f e g due endomorfismi nilpotenti che commutano, dimostrare che esiste una base rispetto alla quale f e g sono rappresentate da matrici triangolari strettamente superiori
arianna.luzi
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Re: esercizio su endomorfismi nilpotenti

Messaggioda Shocker » 14/04/2019, 14:32

Ciao,

quali sono gli autospazi di $f$ e $g$?
Nature by numbers - http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA

$F(n) = ( \varphi^n - (1 -\varphi)^n )/sqrt(5)$
#NikkioAlleIMO - https://www.youtube.com/watch?v=vEl5bFIALb8

"Se vivessimo in $\mathbb{R^4}$ allora nessuno si impiccherebbe perché in $\mathbb{R^4}$ tutti i nodi si sciolgono"
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Re: esercizio su endomorfismi nilpotenti

Messaggioda arianna.luzi » 15/04/2019, 14:50

Rispettivamente ker(f) e ker(g)
arianna.luzi
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Re: esercizio su endomorfismi nilpotenti

Messaggioda Shocker » 15/04/2019, 23:29

Molto bene. Sfruttando l'ipotesi di commutatività dovresti riuscire a dimostrare che, per esempio, $Ker(f)$ è $g-$invariante e quindi $g$ ammette almeno un autovettore $v \in Ker(f)$. Poiché $v \in Ker(f)$ si ha che è anche un autovettore per $f$, dunque $f$ e $g$ ammettono almeno un autovettore in comune: questa è l'osservazione chiave per poter dimostrare la tesi del tuo esercizio. Con queste informazioni(che vanno tutte dimostrate) riesci a procedere nella dimostrazione?
Nature by numbers - http://www.youtube.com/watch?v=kkGeOWYOFoA

$F(n) = ( \varphi^n - (1 -\varphi)^n )/sqrt(5)$
#NikkioAlleIMO - https://www.youtube.com/watch?v=vEl5bFIALb8

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