Esercizio sulla convoluzione con seno

[Giaxy]

Buonasera,
vi scrivo perché ho un dubbio riguardante il calcolo della convoluzione tra queste due funzioni.



Di seguito è riportata la soluzione fornita dal testo:





Svolgendo l'integrale autonomamente mi ritrovo che il risultato di quella convoluzione è sempre 0. Non riesco proprio a capire perchè nella risoluzione vengano considerati due casi.
Ho provato brutalmente a sostituire la \( x\) con un numero appartenente sia ad \( (0,1)\) che ad \( (1,+ \infty ) \) ma l'integrale continua comunque a venirmi 0.

[gugo82]

Beh, posto per comodità \(I = (0, \pi)\), per definizione hai $chi_(I) (t) := \{ (1, text(, se ) 0 < t < pi ), (0, text(, altrimenti)):}$ dunque:
\[
0 \leq x \leq \pi\quad \Rightarrow\quad \int_0^x \sin (2(x - t))\ \chi_I (t)\ \text{d} t = \int_0^x \sin (2(x - t))\ \text{d} t = \left. \frac{1}{2}\ \cos( 2(x-t)) \right|_0^x = \text{ etc...}
\]
perché la funzione caratteristica vale $1$, mentre:
\[
x > \pi\quad \Rightarrow\quad \int_0^x \sin (2(x - t))\ \chi_I (t)\ \text{d} t = \int_0^\pi \sin (2(x - t))\ \chi_I (t)\ \text{d} t + \int_\pi^x \sin (2(x - t))\ \chi_I (t)\ \text{d} t = \int_0^\pi \sin(2(x-t))\ \text{d} t = \text{ etc...}
\]
perché la funzione caratteristica vale $0$ fuori da $I$.

[Giaxy]

Non riesco a capire perché in questo specifico caso sia necessario fare considerazioni sulla funzione caratteristica. Nell' esempio proposto non si ha che \( \sin(2x) * \chi_I (x) = \int_0^\pi \sin (2(x - t)) dt \) ?
La funzione caratteristica se 'moltiplica da destra' non mi determina il dominio di integrazione (scomparendo) ?

[gugo82]

Appunto.

E secondo te come lo determina il dominio?

[Giaxy]

Lo determina mediante gli estremi di integrazione, essendo la funzione caratteristica funzione di \( t \) essa sarà diversa da 0 solo quanto \( t \in (0, \pi ) \) ,ossia quando gli estremi di integrazione saranno \( 0 , \pi \) perché la variabile x dovrebbe in qualche modo influire sull'integrale se effettivamente la funzione caratteristica non dipende da essa?

[gugo82]

Perché gli estremi dell’integrale esterno dipendono da $x$.

[Giaxy]

E perché gli estremi dell'integrale esterno dipendono da x se l'integrale è su tutti i reali ?

[gugo82]

Veramente lo dovresti sapere tu… Io ho visto come l’ha definita il tuo testo e mi sono regolato di conseguenza.

[Giaxy]

Cavolo…...sono un grande fesso! Era tardi e non mi ero accorto che l'integrale dipendesse da x .