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] Vi dò la mia idea di soluzione.
Consideriamo il diametro di un insieme di diametro unitario. Nel disegno è rappresentato dal segmento AB. Quindi $ bar(AB)=1 $. Ricordo che intendo per diametro di un insieme il sup della distanza tra i punti dell'insieme.
Qualsiasi altro punto dell'insieme dovrà quindi distare da A e da B al massimo 1. Quindi dovrà stare all'interno del cerchio di raggio unitario con centro A e all'interno del cerchio con raggio unitario di centro B.
Quindi dovra stare nell'intersezione tra i due cerchi, come nella figura.
La larghezza massima dell'intersezione è la lunghezza di AB, cioè 1, e facendo i calcoli (se non ho sbagliato) l'altezza dell'intersezione, cioè il segmento CD, è pari a $ sqrt(3)/2 $
Non mi sembra difficile quindi dimostrare che l'intersezione tra i due cerchi può essere ricoperta da un triangolo equilatero di lato $ sqrt(3) $ .
Questa è l'idea. I calcoli li faccio fare a voi che siete meno sfaticati di me.