Punti interi in un disco

[Bremen000]

Se chiamiamo, per ogni $r \ge 1$ e $k \in \mathbb{N}$,
\[ f_r(k):= \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{[r]} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{[r]} \biggr )^2 } \]
allora possiamo riscrivere il limite di dissonance come
\[ \lim_{r \to + \infty} \int_{\mathbb{N}} f_r(k) \chi_{\{1, \dots, [r] \} }(k) \text{d} \mu_c(k ) \]
dove $\mu_c$ è la misura del conteggio.

Sicuramente abbiamo, per ogni $k \in \mathbb{N}$ e $r \ge 1$, che

\[\small \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r+1} \biggr )^2 }}_{=:g_r(k)} \le f_r(k) \le \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r+1} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 }}_{=:h_r(k)} \]

e chiaramente

\[ \lim_{ r \to + \infty} g_r(k) = \lim_{r \to + \infty} h_r(k) =0 \]
per ogni $k \in \mathbb{N}$, da cui

\[ \lim_{r \to + \infty} f_r(k) =0 \]
per ogni $k \in \mathbb{N}$.

Ora sarebbe carino far entrare quel limite dentro l'integrale, ma non mi viene in mente un modo in questo momento...

[dissonance]

Per fare entrare i limiti dentro gli integrali (!) i metodi sono due: convergenza monotona o convergenza dominata.

[Bremen000]

Monotona non se ne fa nulla perché se $r \in \mathbb{N}$ si ha $f_r(k)=0$ per ogni $k \in \mathbb{N}$. Convergenza dominata mi pare pure non si riesca. Perché dici

[...] integrali (!) [...]

?

[dissonance]

Monotona non se ne fa nulla perché se $r \in \mathbb{N}$ si ha $f_r(k)=0$ per ogni $k \in \mathbb{N}$. Convergenza dominata mi pare pure non si riesca. Perché dici

[...] integrali (!) [...]

?

Mi riferivo a "fare entrare i limiti dentro"

diciamo che non è proprio linguaggio dei più puri. In italiano è proprio sbagliato, ora che ci penso: "entra dentro, esci fuori", sono errori.

[Bremen000]

Ahhhhh, ho capito! Anche se da Firenze mi dicono si possa.

In ogni caso, come portiamo il limite dentro quell'integrale?

[dissonance]

*Deve* essere facile. La stima superiore, per esempio, viene subito da qui:
\[
\sum_{k=1}^{[r]} h_k(r)=\frac{1}{r+1}\left(\frac1r\sum_1^{[r]} \sqrt{1- \frac{k^2}{r^2}}\right)\le\frac{2}{1+r},\]
e ci ho messo un \(2\) per sicurezza, ma probabilmente va bene pure un \(1\), sto solo stimando brutalmente ogni addendo con \(1\). La stima inferiore sarà sicuramente conseguenza di qualche altro ragionamento facile di questo tipo.

[Bremen000]

Ahhhh hai ragione! Che scemo, pensavo a cose strane mentre è evidente che si possono fare delle stime normalissime. Oltretutto quello che ho scritto nel post precedente è sbagliato, quello che è vero è che, posto
\[ f_r(k):= \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{[r]} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{[r]} \biggr )^2 } \quad \quad r>1 \, , \, k \in \mathbb{N}\]
si ha
\[\small \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r-1} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 }}_{=:g_r(k)} \le f_r(k) \le \underbrace{\frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r} \biggr )^2 } - \frac{1}{r} \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{ k}{r-1} \biggr )^2 }}_{=:h_r(k)} \quad \quad r>1 \, , \, k \in \mathbb{N} \]

e quindi basta far vedere che

\[ \lim_{r \to + \infty} \sum_{k=1}^{[r]} g_r(k) = \lim_{r \to + \infty} \sum_{k=1}^{[r]} h_r(k) =0 \]

ma questo segue immediatamente dalle due stime

\[ 0 \le \sum_{k=1}^{[r]} h_r(k) \le \frac{ 2r-1}{r^3 (r-1)} \Biggl [ \frac{[r]-1}{ \sqrt{ 1-\biggl ( \frac{[r]-1}{r} \biggr )^2}} + \frac{1}{\sqrt{ 1-\biggl ( \frac{[r]}{r} \biggr )^2}+ \sqrt{ 1-\biggl ( \frac{[r]}{r-1} \biggr )^2}} \Biggr ] \overset{r \to + \infty}{\longrightarrow} 0\]

e \[ 0 \overset{ r \to + \infty}{\longleftarrow} -\frac{1}{r(r-1)} \Biggr [ ([r]-1) \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{[r]-1}{r} \biggr )^2 }+ \sqrt{ 1- \biggl ( \frac{[r]}{r} \biggr )^2 } \Biggr ] \le \sum_{k=1}^{[r]} g_r(k) \le 0 \]

che non saranno belle ma funzionano.

[Cantor99]

Riesumo questo post. Mi è venuta forse una mezza idea su come calcolare quel limite.
\[
\lim_{r\to+\infty} \frac{\sum_{n=1}^{[r]}\sqrt{r^{2}-n^{2}}}{r^{2}}=\lim_{r\to+\infty}\sum_{n=1}^{[r]} \frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{n}{r}\Big)^{2}}
\]
Per le stime del criterio integrale, ho
\[
\lim_{r\to+\infty}\sum_{n=1}^{[r]} \frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{n}{r}\Big)^{2}}= \lim_{r\to+\infty}\int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy
\]
Ma da $y-1\le [y]\le y$ ricavo anche
\[
\int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{y}{r}\Big)^{2}}dy\le \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy\le \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{y-1}{r}\Big)^{2}}dy
\]
Cambiando di variabile gli integrali a lato, ottengo
\[
\int_{\frac{1}{[r]}}^{1}\sqrt{1-t^{2}}dt\le \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy\le \int_{0}^{1-\frac{1}{[r]}}\sqrt{1-t^{2}}dt
\]
Mandando ora $r\to +\infty$ si perviene all'identità
\[
\lim_{r\to +\infty} \int_{1}^{[r]}\frac{1}{r}\sqrt{1-\Big(\frac{[y]}{r}\Big)^{2}}dy=\int_{0}^{1}\sqrt{1-t^{2}}dt=\frac{\pi}{4}
\]
Che ne dite?

Edit : solo ora noto che c'è anche una seconda pagina ahah