@emanuele1961: Buona Pasqua anche a te.
Ma tra una fetta di casatiello ed una di pastiera, sarebbe istruttivo (per te e per il pargolo) cercare di rappresentare graficamente gli insiemi che axpgn ha pazientemente individuato e proposto più sopra:
axpgn ha scritto:Cara Arianna, […] Fatti un esempio alternativo, come $A=\{1, 3, 5, 7\}$, $B=\{1, 2, 4, 6\}$ e $C=\{3, 6, 9, 11, 23\}$
piuttosto che continuare a discettare sulla possibilità di errore di docenti ed affini.
Inoltre, non capisco perché tu continui a scrivere che l’interpretazione del problema ti “sembra” scorretta, quando ti hanno mostrato che l’interpretazione “è” corretta, anzi che non c’è alcuna ambiguità né nella traccia né nella sua interpretazione.
Tuo figlio ha sbagliato l’esercizio. Non c’è niente di male in ciò, non c’è nulla da cui difenderlo
1.
C’è solo da spronare tuo figlio a capire meglio cosa significa un modello matematico ed a ragionare di più su quello che ha davvero sotto gli occhi, piuttosto che insistere sul fargli cercare di ricordare un fantomatico “meccanismo” secondo il quale si risolvono gli esercizi (che, è questo l’assunto di base, sono tutti uguali… e invece no).
In tal senso, vedo in questa discussione un utile spunto per cercare di dissipare un po’ un grande equivoco, che ha forte sapore di ignoranza (vorrei dire “matematica”… ma no, perché questa ha pesanti ricadute anche nella vita reale), e che mina alla base ogni corretto approccio allo studio della Matematica sia dei ragazzi, sia degli adulti (istruiti, il più delle volte) che li aiutano.
Il problema di fondo, qui, è il non saper distinguere il “generale” come modello astratto ed il “particolare” come istanza/effettiva realizzazione di tale modello.
Spiego.
Non hai trovato, nelle tue innumerevoli peregrinazioni sul web, un disegno come quello proposto dalla docente perché insegnando Matematica si tende a preferire il caso “generale”. In altri termini, hai trovato il “tipico” diagramma di Venn di tre insiemi:
perché, in mancanza di informazioni precise sui tre insiemi $A,B,C$ coinvolti (cioè “in generale”), non si può pretendere che nessuno dei $7$ insiemi mutuamente disgiunti:
\[
\begin{split}
& (A\cap B)\setminus C, (B\cap C)\setminus A, (C\cap A)\setminus B, \\
&A\setminus (B \cup C), B\setminus (C \cup A), C\setminus (A\cup B), \\
& A\cap B\cap C
\end{split}
\]
(rappresentati dai settori del diagramma) sia vuoto; dunque ogni settore del diagramma di Venn di tre insiemi nel caso “generale” deve avere dei punti interni.
2Invece, il diagramma disegnato dalla professoressa, simile (anche se non uguale, ma la differenza è solo nella forma dei patatoidi) a questo:
rappresenta un caso “particolare”, esattamente il caso in cui i tre insiemi $A,B,C$ (non vuoti) sono caratterizzati da:
- non avere punti in comune tutti e tre insieme (sicché $A nn B nn C = emptyset$),
- avere punti in comune a due a due (cioè $A nn B , B nn C , C nn A != emptyset $),
- avere ognuno punti che non appartengono agli altri due insiemi (cosicché $A\setminus (B \cup C), B\setminus (C \cup A), C\setminus (A\cup B) != emptyset$).
Osserva che la rappresentazione proposta dalla docente soddisfa il “principio” che citi, cioè:
emanuele1961 ha scritto:Dunque due insiemi A e B si dicono DISGIUNTI se NON hanno ALCUN ELEMENTO in COMUNE, cioè se la loro INTERSEZIONE è l'INSIEME VUOTO.
perché dal diagramma che correda la traccia è evidente che i due insiemi $A nn B$ e $C$ hanno intersezione vuota, cioè sono disgiunti. Non te ne accorgi?
Infine, la rappresentazione che proponevi tu come possibile alternativa, ossia:
emanuele1961 ha scritto:l intersezione tra A e B, che si presume non sia vuota (anche se non ci sono dati ) interseca un TERZO insieme con cui non condivide nessun elemento dà chiaramente risultato 0 . il terzo insieme però lo avrei rappresentato separatamente, ossia disgiunto […]
posso immaginare, se l’uso del linguaggio naturale non mi inganna, fosse qualcosa di simile a questo:
Essa, però, rappresenta una situazione totalmente differente da quella che la professoressa chiedeva di analizzare, cioè una terna di insiemi $A,B,C$ non vuoti e tali che:
- $C$ non ha punti in comune né con $A$ né con $B$ (sicché $A nn C, B nn C = emptyset$),
- $A$ ha punti in comune con $B$ (cioè $A nn B != emptyset $),
- ogni insieme ha punti che non appartengono agli altri due insiemi (cosicché $A\setminus (B \cup C), B\setminus (C \cup A), C\setminus (A\cup B) != emptyset$).
Potresti chiederti, e faresti bene, perché allora si preferisce l’uso dei casi “generali” ai casi “particolari”?
Questa è una buona domanda e dentro di sé racchiude l’idea stessa di cosa voglia dire fare Matematica.
Pensa: cos’è $2$?
È due pere? Due mele? Due dita? Due narici? Due automobili parcheggiate sotto casa? Due persone sotto la fermata dell’autobus?
Sì, forse, come caso particolare; ma, in verità, no, non è nessuna di queste alternative.
$2$ è un numero, cioè è una qualità che accomuna tutti gli esempi che ti ho citato in precedenza. $2$ non vede se stai contando pere, mele, dita, narici, auto o persone; $2$ è un concetto generale non particolare. Ma esso può essere particolareggiato quando è opportuno o richiesto, esibendo un paio di oggetti distinti. Tanto per capirci: se chiedi a chiunque
Scusa, mi dai due?, la risposta sarà
Sì, ma “due” cosa?Allo stesso modo, il primo diagramma rappresenta un caso “generale”, che si può sfruttare per farci delle cose quando non si hanno informazioni sui tre insiemi (
Scusa, mi dai tre insiemi?); mentre il diagramma proposto dal docente è un caso “particolare”, che contiene molte informazioni sui tre insiemi assegnati (
Sì, ma “tre insiemi” come?).
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)