Clairecc ha scritto: per questo in internet trovavo l' itegrale di Gauss, che se non ho capito male serve a trovare il volume sottostante alla curva e non l'area.
Forse, e sottolineo che questa è solo una mia opinione, invece di zampettare in internet è meglio rifarsi al libro di testo che ti è stato fornito dal docente.
Ad ogni modo, la media di una variabile continua è definita in vari modi ma il più comune è questo:
$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx$
dove con $int_(-oo)^(+oo)$ si intende l'integrale su TUTTO il supporto della variabile.
Nel tuo caso, la variabile è una esponenziale negativa, definita in $RR^+$ e quindi la media viene
$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=int_(0)^(+oo)xlambdae^(-lambdax)dx=1/lambda$
Se la variabile fosse stata, ad esempio, una Gaussiana la sua media sarebbe stata
$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=int_(-oo)^(+oo)x 1/(sigmasqrt(2pi))e^(-1/(2sigma^2)(x-mu)^2)dx="....pochi passaggi..."=mu$
Se fosse stata una uniforme $X~ U(a;b)$ sarebbe stata
$mathbb{E}[X]=int_(-oo)^(+oo)xf(x)dx=int_(a)^(b)x1/(b-a)dx=(a+b)/2$
ecc ecc
Per quanto riguarda l'esercizio che ti ho proposto mi sembra strano che non sia parte del programma (ovviamente dipende da che studi stai facendo): è il calcolo dei momenti di una variabile esponenziale negativa
1, che si risolve in due passaggi a patto di conoscere cosa sia una
funzione gammaInfatti,
$mathbb{E}[X^n]=int_(0)^(+oo)x^nlambdae^(-lambdax)dx=1/lambda^nint_(0)^(+oo)(lambdax)^n e^(-lambdax)d(lambdax)=1/lambda^n Gamma(n+1)=(n!)/lambda^n$
da cui subito (e senza risolvere alcun integrale)
$mathbb{E}[X]=1/lambda$
$mathbb{E}[X^2]=2/lambda^2$
ecc ecc