Segnatura e sottospazi

Messaggioda kekkodigrano » 17/05/2019, 17:14

Ciao a tutti, sono alle prese con il seguente esercizio:
Sia $phi$ un prodotto scalare su $mathbb{R}^5$ con segnatura $sigma=(3, 2,0)$ .
Sia $W$ un sottospazio, determinare al variare della dimensione di $W$ la segnatura di $phi$ ristretto $W$.
Ora ho studiato abbastanza agilmente fino a $dimW=3$. I problemi mi nascono alla dimensione 4. Per fare un esempio, senza entrare in tutti casi, secondo me non può essere che $sigma(phi|W)=(3, 0,1)$, ma non riesco a dimostrarlo in alcun modo. Inizialmente, per dimostrare l'esistenza di segnature del tipo $(0,0,2)$ quando $dimW=2$ avevo ragionato trovandomi una base ortogonale normalizzata rispetto a $phi$ in $mathbb{R}^5$, $B={v_1,v_2,v_3,v_4,v_5}$ dove $phi(v_4,v_4)=phi(v_5,v_5)=-1$ e $phi(v_1,v_1)=...=phi(v_3,v_3)=1$. Mi costruivo così, caso per caso i vettori isotropi del tipo $v_1+v_4$ che diventavano parte del radicale del sottospazio $W$. Poiché chiaramente questo giochino é impossibile nel caso citato ho dedotto che quella segnatura non sia ammissibile, ma non trovo una motivazione rigorosa per dimostrarlo. Cerco illuminazioni, grazie a tutti! :)
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Re: Segnatura e sottospazi

Messaggioda Bokonon » 18/05/2019, 13:23

Forse non ho capito bene il problema ma se la segnatura è del tipo $(i_+,i_-,i_0)$ allora ci dice che ci sono 3 autovalori positivi e 2 negativi.
Visto che la matrice associata al prodotto scalare è simmetrica, è sempre possibile decomporla in $QDQ^T$, quindi abbiamo sempre una base ortogonale per $R^5$. Usa quella per decomporre $R^5$nei vari W.
Se non ci sono "assi"/autovettori associati ad un autovalore pari a 0, non ci saranno mai sottospazi con segnatura $i_0!=0$

Esempi di sottospazi W sono:
- l'unico sottospazio W generato dai tre autovettori associati agli autovalori positivi. In questo caso la segnatura associata sarà (3,0,0)
-il sottospazio W generato da due autovettori associati a due autovalori positivi e uno negativo (ce ne sono 6), in questo caso avranno segnatura (2,1,0)
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Re: Segnatura e sottospazi

Messaggioda kekkodigrano » 18/05/2019, 14:51

Ok, forse non mi sono spiegato bene, ci riprovo. :D
Il mio problema é: Dato un prodotto scalare $phi$ su $mathbb{R}^5 $ con segnatura (3,2,0) determinare se esiste un sottospazio $W$ di dimensione 4 con segnatura (3,0,1), rispetto al prodotto scalare $phi_W $.
In realtà il testo dell'esercizio chiede di classificare le segnature di tutti i possibili sottospazi, ma mi basta quello di sopra come esempio per capire come ragionare.

Rispetto a quello che hai detto tu non mi torna una cosa: tu dici, se non ho capito male, che se 0 non é autovalore(quindi $i_0$ diverso da 0) allora non può esserci un sottospazio $W$ degenere. Ma se, tornando al mio caso, considero $v_1$ autovettore relativo ad un autovalore positivo e $v_2$ autovettore relativo a un autovalore negativo e ortogonale a $v_1$ allora la segnatura di $phi_W$ con $W=span(v_1+v_2)$ é (0,0,1).
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Re: Segnatura e sottospazi

Messaggioda Bokonon » 19/05/2019, 09:39

kekkodigrano ha scritto:Ma se, tornando al mio caso, considero $v_1$ autovettore relativo ad un autovalore positivo e $v_2$ autovettore relativo a un autovalore negativo e ortogonale a $v_1$ allora la segnatura di $phi_W$ con $W=span(v_1+v_2)$ é (0,0,1).

Forse è qua che non ti capisco. Prova a specificare cosa intendi con $phi_W$

Io l'ho inteso così. Se restringiamo il prodotto scalare dato ad un sottospazio, significa che andiamo ad utilizzarlo solo e unicamente fra i vettori che appartengono ad esso.
Ora se consideriamo l'autospazio che hai definito, va da se che la segnatura sarà (1,1,0). Sarà sempre un prodotto scalare indefinito ma non degenere.
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