esercizio meccanica Quantistica

Messaggioda Andrea-.-'' » 17/05/2019, 15:26

Immagine

Buongiorno, potete aiutarmi con l'esercizio nella foto?

Per il primo punto ho ottenuto $ \(trianglex)=(trianglex)_0 $ quindi non c'è sparpagliamento.
Il procedimento che ho seguito è:
$ \A(k)=1/sqrt(2pi)int_-infty^infty psi(x,0) e^(-ikx)dx=e^(-(k(trianglex)_0)^2)*sqrt((2(trianglex)_0)/sqrt(2pi)) $
$ \psi(x,t)=1/sqrt(2pi)int_-infty^infty A(k)e^(i(kx-omegat))dk=e^(-iomegat)*psi(x,0) $
$ \<x> =(int_-infty^infty x|psi(x,t)|^2 dx)/(int_-infty^infty |psi(x,t)|^2 dx) =0$
$ \(trianglex)^2 =(int_-infty^infty (x- <x>)^2|psi(x,t)|^2 dx)/(int_-infty^infty |psi(x,t)|^2 dx) =((trianglex)_0)^2$

per il secondo punto ho provato a confrontare $psi(x,0)$ con il pacchetto d'onda di minima indeterminazione osservando che coincidono per $\<x>_0=0$ e $<p>_0 =0$ allora per una particella libera
$ \d/dt(<p>)=<F> =0 $ quindi $\<p> = <p>_0 =0 $ e $ \d/dt(<x>)=(<p>)/m =0 $
ma allora $ \(trianglex)^2=<x^2> - <x>^2=<x^2> $
e da qui non so proprio come procedere infatti per avere $\<x^2>$ ho bisogno di $\psi(x,t)$ ma non riesco a risolvere
$ \ psi(x,t)=e^((-2ipithat{H})/h) psi(x,0) $ perché mi viene una serie con dei polinomi di Hermite che non so risolvere
Andrea-.-''
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Re: esercizio meccanica Quantistica

Messaggioda Nikikinki » 18/05/2019, 09:05

Uhm intanto fammi capire una cosa

Andrea-.-'' ha scritto:$ \(trianglex)^2 =(int_-infty^infty (x- <x>)^2|psi(x,t)|^2 dx)/(int_-infty^infty |psi(x,t)|^2 dx) =((trianglex)_0)^2 $



Perché l'argomento è $(x- <x>)^2|psi(x,t)|^2$ ? Poi il valor medio della posizione è nullo e quindi va via ma formalmente non mi torna, mi pare hai fatto una "fusione" di termini. Comunque il risultato dovrebbe essere giusto, è un integrale gaussiano si calcola facilmente.


Per il secondo punto il ragionamento direi che ci sta, però prima di calcolare l'evoluzione temporale (ti ricordo che per particella libera $H=p^2/(2m)$) perché non passi in rappresentazione delle p tramite la trasformata di Fourier? Penso sia più semplice alla fine, avresti tutto nella variabile p.
Nikikinki
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Re: esercizio meccanica Quantistica

Messaggioda Andrea-.-'' » 18/05/2019, 12:19

Ciao Nikikinki, intanto ti vorrei ringraziare per il tuo aiuto,

per quanto riguarda la tua perplessità sulla formula che ho usato, purtroppo non so che dirti, l'ho presa pari pari dai miei appunti in cui è citata come definizione per i pacchetti d'onda.
Almeno qualitativamente però mi sembra corretta, nel senso che è anche nella definizione di scarto quadratico medio si usa $\(x- bar(x) )^2 $

per quanto riguarda la seconda parte sono poi riuscito a risolverlo usando :
$ \ psi(x,t)=int_-infty^infty C(k)e^(i(kx-omega(k)t)) $ con $ \omega(k)= barhk^2/(2m) $ e
$ C(k)=1/(2pi)int_-infty^infty psi(x,0)e^(-ikx) dx $

che è la stessa cosa che mi hai suggerito tu
Andrea-.-''
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Re: esercizio meccanica Quantistica

Messaggioda Nikikinki » 18/05/2019, 12:47

Per renderla formalmente corretta mancano i bra e ket sullo scarto quadratico, cioè

$<(\Deltax)^2> = <\sum(x - <x>)^2>$ che è diverso dallo scrivere $\Deltax^2 = \sum (x - <x>)^2 = <x^2> - <x>^2$ a meno della normalizzazione. Sembrano cose da nulla ma il primo è lo scarto quadratico medio sugli stati considerati, il secondo è solo lo scarto quadratico. Per questo dicevo è una questione qui solo di forma ma magari se ti trovi a fare un conto più complicato può portarti in errore. Comunque l'importante è averlo risolto :wink:
Nikikinki
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