integrali tripli (e disperazione)

Messaggioda cechuz » 18/05/2019, 13:25

vorrei mostrarvi una serie di integrali tripli con cui ho non poche difficoltà:
$ 1) f(x,y,z)=1, A={x^2 + z^2<= y^2 + 1 <= 2}$
in questo caso avevo pensato di utilizzare le coordinate sferiche ma queste mi complicano ancora di più i calcoli dal momento che compare quel $ -y^2$
$ 2) f(x,y,z)=1 , A={x^2+y^2+z^2 <=9, y^2+z^2<= x} $
nel secondo caso avevo pensato nuovamente alle coordinate sferiche ma la situazione è la seguente: dalla prima disequazione ricavo che $ rho^2sin^2(phi)cos^2(vartheta)+rho^2sin^2(phi)sin^2(vartheta)+ rho^2cos^2(phi)<= 9 $ il che si traduce, sfruttando l'identità fondamentale della trigonometria in $ -3<= rho <= 3 $ (poi in realtà considerando che $ rho in [o, +oo)$ avrei $ 0<= rho<=3$). Però dalla seconda disuguaglianza ho che $ rho^2sin^2(phi)sin^2(vartheta)+ rho^2cos^2(phi)<= rhosin(phi)cos(vartheta) $ ossia che $ rho<=( sin(phi)cos(vartheta)) / (sin^2(phi)sin^2(vartheta) + cos^2(phi) ) $ e mi sembra assurdo che questo possa essere un estremo di integrazione...
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Re: integrali tripli (e disperazione)

Messaggioda gugo82 » 18/05/2019, 13:33

In primis, disegna.
In secundis, usa le coordinate cilindriche.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: integrali tripli (e disperazione)

Messaggioda cechuz » 18/05/2019, 13:52

il punto è che mi piacerebbe tanto disegnare ma il nostro corso di algebra e geometria lineare è stato praticamente una cosa del tipo algebra (e geometria), quindi non so come riconoscere una quadrica perchè non posso far affidamento a nient'altro se non alla mia scarsa memoria. Ho provato a cercare di capire come utilizzare le matrici in mio soccorso, ma nulla. In sintesi se la quadrica è banale riesco a disegnarla, ma se la situazione si complica mi incasino. Pertanto vorrei affidarmi, per poter andare a colpo quasi sicuro, alla parte analitica (so che non è il massimo!)
Perchè mi consigli le coordinate cilindriche ?
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Re: integrali tripli (e disperazione)

Messaggioda gugo82 » 18/05/2019, 15:26

No, per favore, non cominciare a lamentarti dei corsi… Le quadriche non c’entrano nulla qui. Ed il saper disegnare semplici insiemi in $RR^2$ ed $RR^3$ è un’abilità di base che avresti dovuto preoccuparti di sviluppare anche da solo, per tua cultura.
Se non lo fai/hai fatto, è solo per pigrizia e/o scarsa curiosità.
Questa che segue è una domanda di carattere generale che mi pongo frequentemente, anche per quanto riguarda i miei studenti delle superiori:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Perché? Perché dei ragazzi che sono bombardati di immagini, sono immersi nelle rappresentazioni, non hanno la curiosità di capire come si costruisce un’immagine/una rappresentazione? Inoltre, perché non attribuiscono il giusto valore ad una rappresentazione grafica?


Per tornare IT, considera il primo insieme $A := \{ (x,y,z) in RR^3:\ x^2 + z^2 <= y^2 + 1 <= 2\}$. Innanzitutto, osserva che il tuo insieme è simmetrico rispetto all’origine, ai piani coordinati ed è un solido di rotazione attorno all’asse $y$. Da ciò segue che è possibile descrivere l’insieme sfruttando coordinate cilindriche.
Introducendo le coordinate cilindriche con polo $O$, semiasse polare quello delle $x$ positive ed asse $y$, cioè $\{( x = r cos theta), (y = h), (z = r sin theta) :}$, le disuguaglianze che individuano $A$ si traducono nel sistema:
\[
\begin{split}
\begin{cases}
r^2 \leq h^2 + 1 \\
h^2 + 1 \leq 2
\end{cases} \quad &\Leftrightarrow \quad \begin{cases}
0 \leq r \leq \sqrt{h^2 + 1} \\
-1 \leq h\leq 1
\end{cases}
\end{split}
\]
dunque l’insieme è formato dalla parte interna ad un iperboloide ellittico ad una falda con asse l’asse $y$.
L’integrale triplo di $f(x,y,z) := 1$ esteso ad $A$ coincide col volume di $A$, dunque al netto delle simmetrie, l’intergrale è $8$ volte il volume della parte di $A$ contenuta nel primo ottante: dunque:
\[
\iiint_A \text{d} x \text{d} y \text{d} z = 8 \int_0^{\pi/2} \left( \int_0^1 \left( \int_0^\sqrt{h^2 + 1} r \text{d} r \right) \text{d} h \right) \text{d} \theta \; .
\]
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Re: integrali tripli (e disperazione)

Messaggioda cechuz » 18/05/2019, 17:07

gugo82 ha scritto:No, per favore, non cominciare a lamentarti dei corsi… Le quadriche non c’entrano nulla qui. Ed il saper disegnare semplici insiemi in $ RR^2 $ ed $ RR^3 $ è un’abilità di base che avresti dovuto preoccuparti di sviluppare anche da solo, per tua cultura.
Se non lo fai/hai fatto, è solo per pigrizia e/o scarsa curiosità.
Questa che segue è una domanda di carattere generale che mi pongo frequentemente, anche per quanto riguarda i miei studenti delle superiori:
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Perché? Perché dei ragazzi che sono bombardati di immagini, sono immersi nelle rappresentazioni, non hanno la curiosità di capire come si costruisce un’immagine/una rappresentazione? Inoltre, perché non attribuiscono il giusto valore ad una rappresentazione grafica?




non voglio sembrare la solita piagnucolona che da la colpa ai corsi non completi per le sue mancate conoscenze, tuttavia potevo "permettere" la non completezza degli argomenti trattati alle scuole superiori, ma per me (sottolineo per me) è inconcepibile ed inammissibile che un corso universitario risulti carente nel darmi conoscenze base.
Detto ciò ne approfitto per rispondere alla sua domanda: perchè hanno paura. Secondo lei perchè a pochi piace questa materia e la maggior parte delle volte i ragazzi riscontrano difficoltà nel trattarla? Semplicemente perchè sin dalle elementari i docenti non sono in grado di insegnarla a dovere. Loro sono i primi spaventati da questa materia perchè non la conoscono, e inconsapevolmente trasmettono questa paura anche ai loro alunni. Quindi i ragazzi preferiscono fuggire piuttosto che immergersi nella "semplicità" della matematica, perchè la matematica in fondo è semplice se si riesce a comprenderla. Pertanto se nel mio cammino scolastico avessi incontrato un docente che avesse appreso appieno l'importanza della rappresentazione grafica e come realizzarla, probabilmente ora anche io saprei farlo invece di esserne spaventata a morte! La prego di non ridurre tutto ad un "avrebbe dovuto farlo per curiosità personale" perchè noi cittadini paghiamo le tasse per ricevere un servizio e il mio servizio è un insegnate che sia in grado di svolgere il suo lavoro. Altrimenti le scuole cosa esisterebbero a fare?
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Re: integrali tripli (e disperazione)

Messaggioda gugo82 » 18/05/2019, 17:22

Poverina… Tutta colpa dei docenti.

Lo studio1 è l’insieme delle tecniche e delle strategie messe in atto volontariamente da un soggetto per appropriarsi della conoscenza di una data disciplina e delle relazioni intercorrenti fra tale disciplina e le altre.
Quindi lo studio è un’attività complessa poiché ha un obiettivo complesso: consentirti di espandere il tuo orizzonte culturale, di conoscere cose nuove in maniera approfondita e di capire i legami delle cose nuove con quelle che già conosci.

La volontarietà implica la responsabilità propria dello studente, riassunta magistralmente sui vecchi testi universitari in frasi del tipo: “sarà cura dello studioso lettore dimostrare le proposizioni che seguono”.

Vai a studiare, invece di avere paura e di prendertela con altri.

Note

  1. Dal sostantivo latino ‘studium’, che ha molte accezioni, tra le quali: applicazione, cura, diligenza, impegno, amore, passione, entusiasmo, zelo.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: integrali tripli (e disperazione)

Messaggioda cechuz » 18/05/2019, 18:30

caro @gugo82 mi sembra quasi che per qualche ragione lei si senta chiamato in causa... il mio era un discorso di carattere generale, è ovvio e scontato che esistono anche docenti che sanno fare il proprio lavoro ( se lei è uno di quelli ben venga per lei in primis e per i suoi alunni in secundis ). La buona volontà certe volte non è sufficiente! Altrimenti basterebbe affidarsi unicamente al libro di testo per comprendere un argomento, e dalla mia esperienza risulta che spesso i libri di testo sono astrusi e macchinosi. Comunque le voglio dire che la mia risposta, che può sembrare vittimismo, è stata frutto di una lunga discussione con uno dei migliori docenti di matematica che io potessi mai incontrare. Ed è stato lui a farmi vedere la cosa in quest'ottica, quella della paura inconsapevole. La invito a chiedere ai suo ragazzi se hanno paura della matematica e a riflettere sulle loro risposte, penso che lei ne risulterà sorpreso. Detto ciò la ringrazio nuovamente per la sua disponibilità e il suo aiuto, torno a studiare.
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Re: integrali tripli (e disperazione)

Messaggioda gugo82 » 19/05/2019, 01:39

cechuz ha scritto:caro @gugo82 mi sembra quasi che per qualche ragione lei si senta chiamato in causa...

Sul forum ci si da del tu. :wink:
“Chiamato in causa” da cosa?

cechuz ha scritto:il mio era un discorso di carattere generale, è ovvio e scontato che esistono anche docenti che sanno fare il proprio lavoro ( se lei è uno di quelli ben venga per lei in primis e per i suoi alunni in secundis ).

E per gli utenti del forum, in tertiis.

cechuz ha scritto:La buona volontà certe volte non è sufficiente!

Certo che non è sufficiente.
Servono anche impegno, costanza, dedizione, interesse, voglia di capire… Serve avere fiducia in sé, nei docenti, nella scuola in generale. Serve realizzare che, per lo studio della Matematica (soprattutto), bisogna cercare di stare “un passo indietro” e non “davanti” a ciò che si studia.

cechuz ha scritto:Altrimenti basterebbe affidarsi unicamente al libro di testo per comprendere un argomento, e dalla mia esperienza risulta che spesso i libri di testo sono astrusi e macchinosi.

A quali testi ti riferisci? Autori?

cechuz ha scritto:Comunque le voglio dire che la mia risposta, che può sembrare vittimismo, è stata frutto di una lunga discussione con uno dei migliori docenti di matematica che io potessi mai incontrare. Ed è stato lui a farmi vedere la cosa in quest'ottica, quella della paura inconsapevole.

Ah, quindi, fammi capire: la “colpa” di non saper disegnare un insieme dello spazio non è del corso, ma di tutti i docenti (a parte quello “illuminato”) che hai incontrato sulla tua strada, i quali ti hanno inconsciamente trasmesso la loro “paura” per la Matematica, materia che avevano studiato per anni all’università e sulla quale avevano preparato (e vinto) concorsi?
.
.
.
.
.
Ti rendi conto dell’assurdità?

Qui, in questi esercizi, ti si chiede di mettere in campo tutto ciò che sai per risolvere un problema e, se non sai nulla di ciò che serve, di andarti a documentare, studiare e poi tornare all’attacco. Questo è quello che fanno i “grandi” (matematici, fisici o ingegneri che siano).
La psicanalisi da bar lasciala al suo posto, cioè tra un sorso di birra ed un altro.

cechuz ha scritto:La invito a chiedere ai suo ragazzi se hanno paura della matematica e a riflettere sulle loro risposte, penso che lei ne risulterà sorpreso.

Certo.
E so già che questo problema emergerà maggiormente in una situazione, cioè in una classe in cui: gli studenti sono più interessati al risultato dell’interrogazione/compito, rispetto alla comprensione di ciò che gli vien spiegato/segnalato; i genitori manifestano scarsa fiducia nel corpo docente; i genitori fanno pressioni sui docenti affinché quel $6$ (che dovrebbe essere $5$) diventi un $7$.

cechuz ha scritto:Detto ciò la ringrazio nuovamente per la sua disponibilità e il suo aiuto, torno a studiare.

Brav.
Riesci a svolgere il secondo esercizio?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
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Re: integrali tripli (e disperazione)

Messaggioda cechuz » 19/05/2019, 14:50

Allora ti do del tu :) Senti io ti parlo con il cuore, il mio docente di matematica delle scuole superiori era laureato in informatica e non so come sia stato in grado di ottenere l'abilitazione all'insegnamento della matematica, ma non sapeva fare il suo lavoro (non che io non capivo il suo lavoro, davvero non sapeva farlo). Non bastano le conoscenza affinchè un docente sia un buon docente, la vera difficoltà è trasmettere ciò che si sa, e ci puoi mettere la mano sul fuoco che se qualcosa l'hai capita per davvero la sai far capire per davvero! Parli con una tra i migliaia di ragazzi sfiduciati nei confronti della scuola, i concorsi e la burocrazia lasciamola a casa...siamo in Italia si sa quanto poco conta la meritocrazia... Inoltre vorrei aggiungere che la "mania" del voto alto è frutto di un sistema scolastico sbagliato alle radici; e tutti quei docenti che pur di stare dietro al programma ministeriale ti lasciano indietro con le tue lacune?
Purtroppo è un discorso troppo ampio e questo non è ne il momento ne il luogo adatto, però apprezzo la volontà di confronto :D

ritornando a noi: il secondo esercizio l'ho svolto. Si tratta di una sfera di raggio 3 che si interseca con un paraboloide circolare con vertice nel centro del sistema $O_(xyz) $ e asse coincidente con l'asse delle x. Per risolverlo ho utilizzato le coordinate cilindriche $ { ( x=h ),( y=rhocos(vartheta) ),( z=rhosen(vartheta) ):} $ quindi ho che $ B={(rho,vartheta,h)in R^3 | h^2+rho^2<=9, rho^2<=h, vartheta in [0,2pi]} $ il che significa che $ rho^2<=h<= sqrt(9-rho^2) $ e che $0<=rho<=( -1+sqrt(37))/2 $ perchè se metto a sistema $ h^2+rho^2=9, rho^2=h $ ho l'intersezione tra una parabola ed una circonferenza di raggio 3, che corrisponde esattamente ai due punti $ h_1=(-1-sqrt(37))/2 , h_2= (-1+sqrt(37))/2 $ che è un dominio normale rispetto a $rho $

pertanto l'integrale diventa $ int_(0)^(2pi) (int_(0)^((-1+sqrt(37))/2) (int_(rho^2)^(sqrt(9-rho^2)) rho dh)drho)dvartheta $

penso l'esercizio sia corretto
Ultima modifica di cechuz il 23/05/2019, 19:48, modificato 1 volta in totale.
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Re: integrali tripli (e disperazione)

Messaggioda dissonance » 19/05/2019, 17:50

cechuz ha scritto:perché hanno paura. [...] perché sin dalle elementari i docenti non sono in grado di insegnarla a dovere. Loro sono i primi spaventati da questa materia perché non la conoscono, e inconsapevolmente trasmettono questa paura anche ai loro alunni. [...] la matematica in fondo è semplice se si riesce a comprenderla.

È una buona analisi. Queste paure, però, bisogna vincerle, perché se nella vita noi non sappiamo qualcosa, non possiamo dire che è colpa del professore che non la ha spiegata (frase che ho già scritto varie volte su questo forum).

Questo mio post di una settimana fa parla dello stesso argomento.
dissonance
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