Come ogni studente delle superiori che si rispetti, fai confusione tra due cose che pur avendo simili rappresentazioni hanno significati e senso differente: lo studio del segno (dei fattori di un prodotto/rapporto) e la rappresentazione delle soluzioni di una disequazione.
Consideriamo la disequazione $x^2 - 1 <= 0$, la quale è soddisfatta per $-1 <= x <= 1$.
Se di tale equazione ci interessa rappresentare
solo l’insieme delle soluzioni, ricorriamo ad un diagramma del tipo:
in cui la linea continua è usata per evidenziare l’intervallo in cui la disequazione è soddisfatta, i.e. l’insieme delle soluzioni, insieme al pallino “pieno” che serve per identificare i numeri in cui è soddisfatta l’uguaglianza.
Invece, per rappresentare le informazioni sul segno di $x^2 - 1$ usualmente si procede così.
Si risolve la disequazione $x^2 - 1 >= 0$
1 e si traccia una linea continua lì dove si trovano le sue soluzioni, ed una linea tratteggiata altrimenti. Ciò comporta che convenzionalmente viene scelta la seguente identificazione:
- linea continua $->$ segno $+$ (è verificata la disuguaglianza $>0$)
- linea tratteggiata $->$ segno $-$ (è soddisfatta la disuguaglianza $<0$)
- pallino “pieno” $->$ punti di nullo (vale lo $=0$).
La convenzione sulle linee e sullo studio del segno (che usualmente viene fatto risolvendo la disequazione col verso $>=0$) si spiega come segue.
Testo nascosto, fai click qui per vederlo
Si sceglie la linea tratteggiata per indicare i segni meno perché, graficamente, il trattino - ricorda proprio il segno $-$; quindi, l’insieme delle soluzioni della disequazione $text(fattore) <0$ nello studio del segno si rappresenta convenzionalmente sempre con linea tratteggiata.
Ciò comporta, per contrapposizione, che la linea continua può essere usata per denotare il segno $+$; quindi l’insieme delle soluzioni della disequazione $text(fattore) >0$ nello studio del segno si rappresenta convenzionalmente sempre con linea continua.
Dunque, proprio per questa seconda identificazione “forzata” (cioè linea continua $->$ segno $+$), si sceglie usualmente la disequazione $text(fattore) >=0$ per studiare il segno di un $text(fattore)$.
Si ottiene così il seguente diagramma dei segni (in cui ho dovuto sostituire il tratteggio con una linea in
blu per motivi tecnici):
Ovviamente, quelle esposte sono convenzioni usate comunemente. Ciò non impedisce di crearti le tue convenzioni, ma economia di pensiero vuole che, quando sono ragionevoli, le convenzioni elaborate da altri si possano accettare ed usare tranquillamente.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)