Siano $X$ e $Y$ due v.a. discrete la cui legge congiunta è data da
$rho_(X,Y )(h, k) = C*1/(h!k!)$ con $ h, k = 0, 1, 2, . . . .$
Si determini
(i) $C$ affinché $rho_(X,Y )(h, k) $sia una densità discreta;
(ii) si calcoli $mathbb(P)(X ≥ 1, Y ≥ 1)$;
(iii) si determinino le leggi marginali di $X$ e $Y$ . Sono dipendenti?
(iv) si calcoli $E[e^(X+Y)]$;
(v) si calcoli la legge di$ X$ condizionata a $X + Y = n$. Si tratta di una distribuzione nota?
la mia risoluzione:
i)
affinchè sia densità, pongo $sum_(h,k) rho_(X,Y )(h, k) =sum_(h,k) C1/(h!k!)=1$
quindi $Csum_h 1/(h!) sum_k 1/(k!) = 1$ , $ C=e^-2$
ii)$mathbb(P)(X ≥ 1, Y ≥ 1) = 1 - mathbb(P)(X = 0 , Y = 0) = 1 - e^-2$
iii)
$rho_X (h) = sum_k 1/(e^2h!k!) = e^-2 1/(h!) sum_k 1/(k!) = 1/(h!e)$
analogamente, $rho_Y(k) = 1/(k!e)$
se faccio il prodotto trovo la congiunta e verifico l'indipendenza
iv)
qua inizia il punto critico.
$E[e^(X+Y)] =_("indipendenza") E[e^X] E[e^Y] $ siccome $X,Y $ sono $ Po(1)$ ho concluso che il valore atteso è $e^2$ ma non so se si possa fare
v) se ho capito bene chiede che
$mathbb(P)(X=h|X+Y=n) = mathbb(P)(Y = n-h| X =n-Y)$
qua però non mi trovo più. Dovrei sostituire dentro la congiunta e trovare la marginale in x?