La caratterizzazione delle funzioni continue in termini di intorni e aperti è attribuita a Hausdorff.
E' in Haussdorff,
Grundzuge der Mengenlehere, 1914, p. 36 il teorema:
" Per una funzione $ f:R^nrarr R^m$ sono equivalenti le tre seguenti affermazioni:
i) $f$ è continua su $R^n$;
ii) per ogni insieme aperto $ Vsub R^m $ l'insieme $f^-1(V)$ è aperto in $R^n$;
iii) per ogni insieme chiuso $FsubR^m$, l'insieme $f^-1(F)$ è chiuso in $R^n$"
1Se poi l'abbia fatta pure Poincaré per conto suo non lo so.
Non mi sembra di averne vista traccia, ma a uno sguardo rapido.