Criteri di integrabilità funzioni a valori in $\mathbb{R}^n$

[Silent]

Il solito libro che leggo (Zorich - Mathematical Analysis I), propone la definizione di integrale e contestualmente dimostra il seguente teorema:

A sufficient condition for a bounded function $f$ to be integrable on a closed interval $[a,b]$ is that for every \(\displaystyle \epsilon >0 \) there exists a number \(\displaystyle \delta >0 \) such that

$$\sum_{i=1}^n \omega(f;\Delta_i) \Delta x_{i} < \epsilon$$

for any partition $P$ of $[a,b]$ with mesh $\lambda (P) < \delta $.

dove \(\displaystyle P=\{ a=x_0,x_1,...,x_{n-1},x_n=b \} \), \(\displaystyle \Delta _i = [x_{i-1},x_i] \), \(\displaystyle \Delta x_i=x_i-x_{i-1} \), \(\displaystyle \omega(f;\Delta _i):=\sup_{x,y\in \Delta_i}|f(x)-f(y)| \), \(\displaystyle \lambda (P)=\max_{i=1,...,n}\Delta x_i \).

Successivamente fa la seguente considerazione:

Remark We note that, although we are dealing at the moment with real-valued functions
on an interval, we have made no use of the assumption that the functions are
real-valued rather than complex-valued or even vector-valued functions of a point of
the closed interval [a, b], either in the definition of the integral or in the proposition
proved above.

Non vedo come sia possibile, considerando la definizione di \(\displaystyle \omega(f;\Delta _i) \), in particolare il fatto che contenga un modulo. A questo punto del testo infatti non viene introdotto nessun concetto di norma.
Secondo voi cosa intende?

Grazie in anticipo.

[Luca.Lussardi]

Evidentemente dà per scontato cosa sia il modulo di un numero complesso e il modulo di un vettore.

[Silent]

Grazie della risposta.
Sempre sullo stesso argomento, credo di essere riuscito a far vedere che questo teorema vale anche per funzioni a valori in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \). La dimostrazione del fatto che la condizione sia sufficiente è abbastanza semplice, mi interessava ricevere un riscontro sul fatto che tale condizione è anche necessaria, se puoi e per favore.

Se \(\displaystyle \mathbf{f}\in\mathcal{R}([a,b]) \) si ha che ogni \(\displaystyle f_j\in\mathcal{R}([a,b]) \) e dunque:

$$\sum_{k=1}^{m(P)}\omega(\mathbf{f};\Delta_k)\Delta x_k=\sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}|\mathbf{f}(t_1)-\mathbf{f}(t_2)| \;\Delta x_k$$
$$=\sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{\sum_{j=1}^n\left(f_j(t_1)-f_j(t_2)\right)^2} \;\Delta x_k\leq \sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\left|f_j(t_1)-f_j(t_2)\right| \;\Delta x_k\leq$$
$$\leq \sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\left|f_j(t_1)-f_j(t_2)\right| \;\Delta x_k=\sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\omega(f_j;\Delta_k) \;\Delta x_k=$$
$$=\sum_{k=1}^{m(P)} \sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\omega(f_j;\Delta_k) \;\Delta x_k=\sqrt{n}\sum_{k=1}^{m(P)} \omega(f_{j_0};\Delta_k) \;\Delta x_k<\sqrt{n}\cdot\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}=\epsilon$$

dove nell'ultimo passaggio ho sfruttato il fatto che, essendo \(\displaystyle f_{j_0}\in\mathcal{R}([a,b]) \) ($j_0\in\{1,...,n\}$) si ha che $\forall\epsilon>0\exists\delta_\epsilon>0$ tale che $\sum_{k=1}^{m(P)} \omega(f_{j_0};\Delta_k) \Delta x_k<\frac{\epsilon}{\sqrt{n}}$, qualunque sia $P$ di $[a,b]$ con mesh $\lambda(P)<\delta_\epsilon$.

Vedi errori?

Grazie.

[anto_zoolander]

@Ianero

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

ciao Ianero

Non mi intrometto nei dettagli del tread piuttosto per caso tutto questo è per parlare della lunghezza di una curva? Perché secondo me con questa proposizione si perde un po’ il senso della cosa; solitamente c’è una dimostrazione standard che lega la lunghezza di una curva con l’integrale del modulo

[Silent]

@anto_zoolander

Testo nascosto, perché contrassegnato dall'autore come fuori tema. Fai click in quest'area per vederlo.

No, almeno credo che per ora non c'entri. Sto semplicemente cercando una condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità di funzioni, prima a valori in \(\displaystyle \mathbb{R} \), poi anche in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).

[obnoxious]

[...] Sto semplicemente cercando una condizione necessaria e sufficiente per l'integrabilità di funzioni, prima a valori in \(\displaystyle \mathbb{R} \), poi anche in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).

Se ne cerchi una qualunque, vedi per esempio il Teorema 3.8 di Calculus on Manifolds, Spivak:

Theorem. Let \( A \subseteq \mathbb{R}^n \) be a rectangle and \( f: A \to \mathbb{R} \) a bounded function. Then \(f\) is integrable if and only if the set \( \{ x \in A \, : \, f \text{ is not continuous at } x \} \) has measure zero.

La nozione di "misura zero" e' data in senso naïve, quindi senza scomodare la Teoria della Misura.

[Silent]

Conosco quel criterio, attualmente però sto semplicemente cercando di capire se la condizione espressa nel messaggio [1] (in quell'occasione ho scritto solo che è una condizione sufficiente, ma in realtà è anche necessaria) si può estendere anche alle funzioni a valori in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).

Grazie della risposta comunque

[obnoxious]

Conosco quel criterio, attualmente però sto semplicemente cercando di capire se la condizione espressa nel messaggio [1] (in quell'occasione ho scritto solo che è una condizione sufficiente, ma in realtà è anche necessaria) si può estendere anche alle funzioni a valori in \(\displaystyle \mathbb{R}^n \).

Grazie della risposta comunque

Comunque la tua dimostrazione mi sembra corretta. Ad un certo punto c'e' un typo pero', hai scritto due volte \(\sup_{t_1, t_2 \in \Delta_k} \).

[Silent]

Dove dici?
Se ti riferisci alla riga dove ci sono 2 sup e 1 max, quel doppio sup ci deve stare e quel passaggio mi serve perchè a proprio non posso scambiare max e sup (nelle righe precedenti dove c’è un solo max e un solo sup).

[obnoxious]

$$\leq \sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\left|f_j(t_1)-f_j(t_2)\right| \;\Delta x_k=\sum_{k=1}^{m(P)} \sup_{t_1,t_2\in \Delta_k}\sqrt{n}\max_{j=1,...,n}\omega(f_j;\Delta_k) \;\Delta x_k=$$

Mi riferivo a RHS della parte quotata, la somma non dipende piu' da \( t_1 \) e \(t_2\). Ma ho ricontrollato e ho visto che nel passaggio dopo quel sup l'hai tolto, quindi va bene.