Condensatore sferico intorno a una sfera

[SalvatCpo]

Up

[SalvatCpo]

Up. @Renzo DF?
Se mi dai la risposta finale chiudiamo l'argomento

[RenzoDF]

Dovresti prima spiegarmi il perché delle due ultime righe.

[SalvatCpo]

Il fatto che il lavoro da compiere sia l'opposto di quello della forza elettrica è intuitivo, una mia idea.

Il fatto che il generatore faccia lavoro doppio rispetto a quello della forza elettrica sta scritto sul libro.

[RenzoDF]

Eh no, scusa ma queste risposte non sono accettabili; se ci pensi un po' sono sicuro che sai dimostrare quelle relazioni.

[SalvatCpo]

Provo a riflettere.

Pensiamo ad un corpo che viene lasciato cadere da un piano inclinato con attrito.
Per far cadere il corpo con accelerazione naturale g, bisogna applicare un lavoro esterno W che è esattamente uguale ma opposto al lavoro della forza spontanea che è l'attrito.
L'attrito è in analogia con le forze elettriche, il lavoro per tenere il carrello ad accelerazione g è analogo a quello necessario per estrarre il dielettrico esterno.
Così spero di aver giustificato che $ Westerno=-W"forze elettriche" $ .

Il fatto che $ W"gen"=Delta Q*fem $ è banalmente giustificato dal fatto che l'energia spesa è proporzionale alla carica trasportata e al potenziale a cui tale processo avviene all'interno del generatore.
(La variazione di carica sulla sfera è uguale alla carica che il generatore è costretto a far muovere da un polo all'altro per tenere costante la sua fem, cioè $ Delta Q $) .

La variazione di energia del sistema è $ Delta U=1/2((Qf)^2/(Cf)-(Qi)^2/(Ci)) $ dove non è difficile determinare Ci e Cf considerando che i vari condensatori sono in serie.

Oltre non riesco ad andare
Non riesco a dimostrare che il lavoro del generatore è il doppio di quello delle forze elettriche.
Le cose sono complicate dal fatto che le ddp dei condensatori "complessivi" finale e iniziale sono diverse (perchè variano i campi).

[RenzoDF]

Devi solo ricordare che l'energia accumulata in un condensatore si può anche scrivere come $1/2QV$.

Per l'energia relativa alle forze esterne, devi semplicemente scrivere la relazione del bilancio energetico fra il "sistema" (generatore + condensatore equivalente") e il "mondo esterno".

[SalvatCpo]

Se l'espressione dell'energia del condensatore è $ QV/2 $ ALLORA è ovvio che $ Delta U_(cond)=Delta Q*V/2 $
e dunque $ W_(g e n)=Delta Q*V=2Delta U_(cond) $ dove sia $W_(g e n)$ che $Delta U_(cond)$ sono negativi perchè $ Delta Q<0 $ in quanto la sfera ha perso carica (positiva, perchè fem>0 e il morsetto negativo è a terra).
Questa carica positiva è passata dal morsetto positivo del generatore a quello negativo (potenziale nullo): tale passaggio è spontaneo e quindi il generatore non ha speso ma guadagnato lavoro (ecco giustificato il segno negativo).

Ovviamente l'equazione del bilancio energetico è questa:
$ Delta U_(cond)=W_(ext)+W_(g e n) $ da cui risulta $ W_(ext)=-Delta U_(cond)=-Delta Q*(fem)/2>0 $ come previsto (perchè il dielettrico è spontaneamente tirato dentro il sistema, quindi è necessario spendere per toglierlo, ecco perchè Wext>0).

Sperando di non aver detto fesserie, ora ho
due dubbi:

1) quanto è il lavoro delle forze elettriche?
2) quello che hai detto tu, ovvero che $ U_(cond)=QV/2 $ , vale per la sfera in solitaria ma il nostro sistema comprende anche due gusci (col dielettrico, fra l'altro): la generalizzazione è valida? Perchè?
E' facile calcolare le capacità iniziale e finale del condensatore complessivo (come hai detto tu, è come se avessimo dei condensatori in serie), dove il cambiamento fra l'inizio e la fine consiste nell'assenza del secondo dielettrico.
A tal punto ovviamente posso scrivere $ Delta U_(cond)=(Q_f)^2/(2C_f)-(Q_i)^2/(2C_i $.
Il $ Delta U_(cond) $ calcolato ora coincide con $ Delta U_(cond)=Delta Q*(fem)/2 $ ??

[RenzoDF]

... Sperando di non aver detto fesserie, ...

Non ne hai dette.

... quanto è il lavoro delle forze elettriche? ...

Limitandosi, per ovvie ragioni di "convenienza", a considerare le sole forze elettriche relative al condensatore, visto che nella fase di estrazione il dielettrico deve essere estratto lentamente (attraverso una successione di infinite condizioni di equilibrio), ... tu cosa diresti?

... quello che hai detto tu, ovvero che $ U_(cond)=QV/2 $ , vale per la sfera in solitaria ma il nostro sistema comprende anche due gusci (col dielettrico, fra l'altro): la generalizzazione è valida? Perchè?

Perché il condensatore equivalente presenterà la stessa variazione di carica di quella relativa ad una delle sue capacità componenti.

... A tal punto ovviamente posso scrivere $ Delta U_(cond)=(Q_f)^2/(2C_f)-(Q_i)^2/(2C_i $.
Il $ Delta U_(cond) $ calcolato ora coincide con $ Delta U_(cond)=Delta Q*(fem)/2 $ ??

Scusa, ma $Q_f/C_f$ così come anche $Q_i/C_i$ a che cosa sono uguali?

[SalvatCpo]

Mi suggerisci che c'è costantemente equilibrio durante l'estrazione.
Dunque la forza esterna di estrazione è costantemente compensata da qualche altra forza, che sarà quella elettrica.
Quindi il lavoro delle forze elettriche è uguale e opposto a quello delle forze esterne.
Cioè $ W_"ele"=Delta U_(cond) $


Poi:
$ Q_f/C_f=V=Q_i/C_i " e quindi "Delta U_(cond)=Delta Q*V/2 " e tutto torna" $