Nello spazio vettoriale $R^4$
si consideri il sottospazio vettoriale W = L((1, 0, 1, 1),(0, 1, 1, 1),(1, −1, 0, 0)).
(i) Determinare una base di W.
(ii) Il vettore (2, −1, 1, 1) appartiene a W? ◦ Si ◦ No Perché?
Buongiorno ragazzi, mi piacerebbe avere un confronto con voi:
(i) scrivo la matrice associata e riduco con Gauss per scoprire quali sono i vettori linearmente indipendenti e che quindi fungono da base allo spazio vettoriale:
$(( 1, 0, 0, 0), ( 0, 1, 0, 0), ( 1, -1, 1, 0)) $
da qui vedo che tutti i vettori fungono da base.
(ii) per vedere se un vettore appartiene allo spazio vettoriale devo controllarlo sulla base o su tutti i vettori che contiene (in questo caso tutti i vettori che contiene fungono da base)? Quindi riscrivo così:
$ a( 1, 0, 1, 1) + b( 0, 1, 1, 1) + c( 1, -1, 0, 0) = ( 2, -1, 1, 1)$
$ { ( a + c = 2 ),( b - c = -1 ),( a + b = 1 ),( a + b = 1 ):} $
$ { ( c= 2-a),( b = 1 -a ),( a = a ), (a = a):} $
Il sistema è indeterminato quindi non ammette soluzioni allora il vettore non appartiene allo spazio vettoriale(?)