Ciao, sto leggendo la dimostrazione da Wikipedia del teorema della nullità più rango (https://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_rango), ed ho dei piccoli dubbi:
Quando si vuole dimostrare l'indipendenza lineare dei vettori {f(Vr+1),...,f(Vn)}, grazie alle proprietà delle funzioni lineari trasforma il tutto in f(Xr+1Vr+1,...,XnVn)=0.
L'argomento di f appartiene dunque al kernel, e alla fine dimostra che quella combinazione lineare fa zero se solo se ogni X è zero (per comodità sto scrivendo X invece di lambda).
Il mio dubbio è:
1) Perchè utilizza questo fatto del kernel quando per ipotesi Vr+1,...,Vn appartiene ad una base e dunque a un sistema libero? Non basta già questo a dire che è sicuramente indipendente?
2) Una volta che abbiamo capito che l'ARGOMENTO di f è indipendente, come fa a dire che anche le sue immagini lo sono? In generale se l'argomento è indipendente non è detto che anche le sue immagini lo sono.
Mi spiego meglio:
Dimostra che XrVr,...,XnVn è indipendente, ma noi dobbiamo dimostrare che è indipendente Xr+1*f(Vr+1)+...+Xn*f(Vn). Le due combinazioni lineari non sono equivalenti (nella prima manca del tutto la funzione).
Grazie mille.