Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

Messaggioda scarsoalcubo » 10/06/2019, 21:08

Ciao a tutti, è il primo esercizio di questo tipo che affronto e vorrei sapere se è giusto.
Se è sbagliato, vorrei conoscere le motivazioni per capire meglio questo tipo di esercizi.

Grazie anticipatamente.

Traccia:
$ X $ , $ Y $ insiemi
$ X\\(X∩Y) = X\\Y $

Svolgimento:

$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y $
$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X ∧ x∉ X∩Y $
$ ⇔ x∈ X ∧ x∉ X∩Y ∧ x∉ Y $
$ ⇔ x∈ X ∧ x∉ Y ⇔ x∈ X\\Y $
scarsoalcubo
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 34 di 37
Iscritto il: 30/01/2018, 17:34

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

Messaggioda marco2132k » 11/06/2019, 11:21

Nello "svolgimento" non si capisce che cosa tu intenda con la prima e la terza riga. Sarebbe meglio se scrivessi anche qualche parola, piuttosto che un muro di soli simboli. Credo che alla terza riga ci sia solo una svista (hai scritto ancora che \( x\not\in X\cap Y \)).

Sì comunque, in ogni caso dovrebbe essere \[
\begin{split}
x\in X\setminus(X\cap Y)&\Leftrightarrow x\in X\land x\not\in(X\cap Y)\\
&\Leftrightarrow x \in X\land\neg\left(x\in X\land x\in Y\right)\\
&\Leftrightarrow x\in X\land\left(x\not\in X\lor x\not\in Y\right)\qquad\qquad\text{(*)}
\end{split}
\] e allora hai la conclusione perché \( x \) soddisfa a (*) se e solo se appartiene al complementare per \( X \) di \( Y \).
Ultima modifica di marco2132k il 11/06/2019, 11:29, modificato 1 volta in totale.
marco2132k
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 284 di 454
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

Messaggioda axpgn » 11/06/2019, 11:28

Scusa Marco ma questa
marco2132k ha scritto:\begin{split}
x\in(X\cap Y)&\Leftrightarrow x\in X\land x\not\in(X\cap Y)\\
\end{split}


non mi pare corretta …
axpgn
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 13639 di 14600
Iscritto il: 20/11/2013, 22:03

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

Messaggioda marco2132k » 11/06/2019, 11:30

Ho corretto, grazie @axpgn!
marco2132k
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 285 di 454
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

Messaggioda scarsoalcubo » 11/06/2019, 13:31

In effetti la prima riga è un mio errore.
Alla terza riga anche, ho ripetuto che $ x∉ X∩Y $ .

Comunque, ho sbagliato praticamente tutto e la soluzione da voi postata è quella corretta? Oppure a parte la svista della terza riga anche la mia dimostrazione è giusta?
scarsoalcubo
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 35 di 37
Iscritto il: 30/01/2018, 17:34

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

Messaggioda marco2132k » 11/06/2019, 13:41

Ma la soluzione che abbiamo postato noi è identica a quello che hai fatto tu. Forse alla prima riga, quando hai scritto la tesi $x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y$, intendevi dire "ora dimostro questo", dato che è un'affermazione che non usi mai in seguito (e che sarebbe sbagliato usare: è la tesi!).
marco2132k
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 289 di 454
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

Messaggioda scarsoalcubo » 11/06/2019, 13:48

marco2132k ha scritto:Ma la soluzione che abbiamo postato noi è identica a quello che hai fatto tu. Forse alla prima riga, quando hai scritto la tesi $x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y$, intendevi dire "ora dimostro questo", dato che è un'affermazione che non usi mai in seguito (e che sarebbe sbagliato usare: è la tesi!).


Esattamente, con la prima riga intendo proprio questo...
Alla terza riga, è inutile ripetere che $ x ∉ X ∩ Y $ , non solo perchè l'ho già scritto alla seconda riga, ma anche perchè l'intersezione è anche un sottoinsieme di $Y$, quindi come ho scritto alla quarta riga, basta dire che $ x∈X ∧ x∉ Y $ , per spiegare che gli elementi appartengono soltanto all'insieme $X$ e non ad $Y$ o all'intersezione. E' giusto?

Quindi alla fine, correggendo, verrebbe:

$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X\\Y $
$ x∈ X\\ (X∩Y) ⇔ x∈ X ∧ x∉ X∩Y $
$ ⇔ x∈ X ∧ x∉ Y ⇔ x∈ X\\Y $
scarsoalcubo
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 36 di 37
Iscritto il: 30/01/2018, 17:34

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

Messaggioda marco2132k » 12/06/2019, 11:14

Scusa, mi sono un attimo assentato. Sì, è corretto. Se \( x\in X\setminus(X\cap Y) \) è \( x\in X \) e contemporaneamente \( x\not\in(X\cap Y) \); allora che \( x\in X \) e (\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)) è vera, cioè è vero che "\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)", ma non può essere \( x\not\in X \), perché è vero il prodotto logico "e" (la somma logica "o" di due proposizioni è vera se e solo se almeno una delle due è vera).
marco2132k
Junior Member
Junior Member
 
Messaggio: 290 di 454
Iscritto il: 18/02/2018, 23:52

Re: Esercizio dimostrazione uguaglianza tra insiemi

Messaggioda scarsoalcubo » 12/06/2019, 13:24

marco2132k ha scritto:Scusa, mi sono un attimo assentato. Sì, è corretto. Se \( x\in X\setminus(X\cap Y) \) è \( x\in X \) e contemporaneamente \( x\not\in(X\cap Y) \); allora che \( x\in X \) e (\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)) è vera, cioè è vero che "\( x\not\in X \) oppure \( x\not\in Y \)", ma non può essere \( x\not\in X \), perché è vero il prodotto logico "e" (la somma logica "o" di due proposizioni è vera se e solo se almeno una delle due è vera).


Ho capito, davvero grazie infinitamente per la disponibilità!
scarsoalcubo
Starting Member
Starting Member
 
Messaggio: 37 di 37
Iscritto il: 30/01/2018, 17:34


Torna a Secondaria II grado

Chi c’è in linea

Visitano il forum: Nessuno e 23 ospiti