Esercizi: trovare inverso di un polinomio (in Anello o Campo)

Messaggioda AAnto » 11/06/2019, 15:28

Ciao,
sto studiando per l'esame di Algebra 2 (uno degli ultimi). Tratta della Teoria degli Anelli e dei Campi.
Sto facendo un casino di esercizi, ma non ho modo di confrontarmi con i colleghi ne tanto meno con il prof. Pertanto chiedo qui aiuto nel capire più che altro se ciò che faccio va bene.

Uno dei primi dubbi sta su questo genere di richieste.

Esercizio
Sia $f \in Q$ definito ponendo $f(x) = 4x^4 + x^2 - 3x + 1$. Sia inoltre $J = (f)$.
1) Determinare se $Q[x]$$ / J$ è un campo.
2) Determinare, se esiste, l'inverso di $x + J \in Q[x]$ $/J$

Questa è la mia soluzione:
proof
1) Affermo che $Q[x]$ $ / J$ non è un campo. Infatti per una caratterizzazione è noto che $Q[x]$ $ / J$ Campo se e solo se $J$ ideale massimale se e solo se $f(x)$ irriducibile.

Infatti $f(x)$ non è irriducibile su $Q$, in quanto si può scomporre almeno nel seguente modo: $f(x) = (x-1/2) * g(x)$, con $g(x) \in Q[x]$ e $deg(g) = 3$.

** ometto il modo col quale ho trovato la radice.

2) Qui sorge il dubbio (più che altro per giustificare ciò che faccio).
--Parentesi
In altri esercizi, simili, è capitato che il quoziente sia stato un Campo. Li senza dubbio affermo che esiste l'inverso (moltiplicativo) di qualsiasi elemento (non nullo), e quindi l'inverso del laterale richiesto in particolare.

Non so in questo caso come giustificare.
Posso dire semplicemente che $(x, 4x^4 + x^2 - 3x + 1) = 1$, con l'Algoritmo di divisione Euclidea e con Bezout ricavo l'inverso?
--Parentesi

Osservo che $x + J \ne J$. Infatti $deg(x) < deg (f)$.
Affermo che $(x, 4x^4 + x^2 - 3x + 1) = 1$, ovvero $\exists a,b \in Q[x] t.c.$ $ax + bf = 1$, ovvero isolando "ax" e passando alle classi laterali, si ha

$(a + J) (x+ J) = (1 + J) + (-bf + J)$ ovvero
$(a + J) (x+ J) = (1 + J)$

Dall'Algoritmo della divisione Euclidea (ometto i calcoli) ricavo che
$f = (x^3 + x - 3) * x + 1$, ovvero

$1 = f - x * (x^3 + x -3)$ e quindi

$(x^3 + x - 3) + J$ è l'inverso cercato.

Ricapitolo il dubbio: se viene fuori che il quoziente è un campo l'inverso esiste e lo trovo (spero il procedimento, almeno in tal caso sia esatto). Se invece il quoziente non è un campo? Secondo me non riesco a giustificare l'esistenza. Ma il calcolo si fa così?

Grazie
AAnto
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Messaggioda j18eos » 11/06/2019, 18:23

Una modalità down on Earth per dimostrare che \(\displaystyle J=(f)=(4x^4+x^2-3x+1)\) non è massimale, è la seguente:
\[
J\subsetneqq(4x^4+x^2-3x+1,x^2)=(-3x+1).
\]
Dato che qui a Udine c'è un caldo afoso e umido, non vorrei aver scritto scemenze... e sono curioso di sapere come tu abbia trovato che \(\displaystyle\frac{1}{2}\) è una radice di \(\displaystyle f(x)\) :?:

EDIT: grazie a jinsang ed a caulacau per avermi segnalato un errore nel ragionamento.
Ultima modifica di j18eos il 12/06/2019, 18:24, modificato 3 volte in totale.
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Re: Esercizi: trovare inverso di un polinomio (in Anello o Campo)

Messaggioda AAnto » 11/06/2019, 18:58

j18eos ha scritto:sono curioso di sapere come tu abbia trovato che \( \displaystyle\frac{1}{2} \) è una radice di \( \displaystyle f(x) \) :?:


Scusa,
dato che siamo su un Campo, se il polinomio non è irriducibile, ovvero si scompone in qualche modo, ci sono 2 possibilità (poiché $deg(f) = 4$:

1) $f = gh$ con $deg(g) = deg(h) = 2$, e non è il caso che ho considerato
2) $f = gh$ con $deg(g) = 1 e deg(h) = 3$. Seguo questo caso.

se faccio i calcoli $f(1/2) = 4 * (2^4) + 1 / 4 - 3/2 +1 = 0$

quindi $f$ si scompone come $f = (x- 1/2) * g$, con $g$ opportuno polinomio.

Comunque, riusciresti a dirmi se l'inverso l'ho trovato giusto e come comportarmi se non sono in presenza di un Campo?
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Messaggioda j18eos » 11/06/2019, 21:56

Praticamente \(\displaystyle\frac{1}{2}\) l'hai trovato di c**o?

L'inverso che hai trovato è corretto, ma avrei qualcosa da scriverti... A domani. ;)
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Re: Esercizi: trovare inverso di un polinomio (in Anello o Campo)

Messaggioda AAnto » 11/06/2019, 22:15

Ma come di c**o?!..
Se non mi sbaglio in $Q[x]$ se $u / v$ è radice del polinomio allora necessariamente $u|a0$ e $v|an$. Per quanto detto l'insieme delle possibili radici del polinomio è da ricercare nell'insieme ${\pm 1, \pm 1/2, \pm 1/4}$

Ecco come ho fatto
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Re: Esercizi: trovare inverso di un polinomio (in Anello o Campo)

Messaggioda AAnto » 11/06/2019, 22:15

Help me please
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Re: Esercizi: trovare inverso di un polinomio (in Anello o Campo)

Messaggioda AAnto » 12/06/2019, 15:12

Mi potete dire come giustifico l'esistenza dell'ìnverso dato che non è un campo?
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Re: Esercizi: trovare inverso di un polinomio (in Anello o Campo)

Messaggioda jinsang » 12/06/2019, 16:48

Secondo me il tuo svolgimento AAnto è corretto.
L'esistenza dell'inverso è garantita dal fatto che $(x,4x^4+x^2-3x+1)=1$ e la costruzione dell'inverso è data dall'algoritmo di Euclide.
In ogni caso un elemento $f$ di un anello è invertibile sse esiste un inverso, quindi se riesci ad esibire un $g$ tche $fg(=gf)=1$ hai dimostrato che quell'elemento è invertibile. Come hai trovato l'inverso sono affari tuoi :-D

Invece non mi torna l'ultima catena di contenimenti di j18eos.
$(2x^2+1,x,x+1)$ è tutto l'anello (è facile ricavare $1=x+1-x$) e quindi non è contenuto in nessun ideale proprio, e non si riesce a dedurre che $(f)$ non è massimale.
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Re: Esercizi: trovare inverso di un polinomio (in Anello o Campo)

Messaggioda caulacau » 12/06/2019, 17:00

AAnto ha scritto:Mi potete dire come giustifico l'esistenza dell'ìnverso dato che non è un campo?

Se mcd(u,v) è 1, allora $u$ è invertibile modulo $(v)$.
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Re:

Messaggioda caulacau » 12/06/2019, 17:03

j18eos ha scritto:\[
4x^4+x^2-3x+1=4x^4+4x^2+1-3x^2-3x=(2x^2+1)^2-3x(x+1)\in(2x^2+1,x,x+1)\Rightarrow\\
\Rightarrow J\subseteq(2x^2+1,x,x+1)\textcolor{red}{\subsetneqq}(2x^2+1),(x),(x+1).
\]

Anche io ho caldo, ma mi sembra che se $S \subseteq T$ sono due insiemi l'ideale generato da $S$ sia contenuto nell'ideale generato da $T$, sicché l'inclusione in rosso è semmai rovesciata. In effetti mi sembra che qualsiasi ideale contenga $(x)$ e qualcosa di coprimo con $x$ sia tutto l'anello: è il caldo o è vero?
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