Re: finzione lipschitziana

Messaggioda gugo82 » 11/06/2019, 19:03

@Flamber: Mi sa che hai le idee confuse pure tu…
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 21657 di 21758
Iscritto il: 13/10/2007, 00:58
Località: Napoli

Re: finzione lipschitziana

Messaggioda Flamber » 12/06/2019, 10:28

gugo82 ha scritto:@Flamber: Mi sa che hai le idee confuse pure tu…


In che senso? Applicare il teorema del valor medio non è sufficiente?

Da quanto mi pare di ricordare una funzione $f" : "OmegasubeRR^nrarrRR$ è lipschitziana in $Omega$ se esiste un $MinR_+"\"{0}$ tale che $|f(b)-f(a)|<=M*|b-a|$ , $forall a,binOmega$.

Nel caso in cui ci siano le condizioni per applicare il teorema di Lagrange in $OmegasubeRR^n$ allora si ha che:
$|f(b)-f(a)|<=max_(x inOmega)|gradf(x)|*|b-a|$ , $ forall a,binOmega$

quindi:

$|gradf(x)|$ è limitato in $OmegasubeRR^n$ $rArr$ $f$ è lipschitziana in $Omega$

Riportandoci al caso $n=1$

$|f'(x)|$ è limitata in $IsubeRR$ $rArr$ $f$ è lipschitziana in $I$

E verificare che $f$ sia differenziabile sulla frontiera di $Omega$ (o derivabile agli estremi di $I$ nel caso $n=1$) non garantisce che $|gradf(x)|$ non diverga a $+-oo$ in tutto $Omega$
Flamber
Average Member
Average Member
 
Messaggio: 921 di 930
Iscritto il: 27/03/2012, 08:49

Re: finzione lipschitziana

Messaggioda Smon97 » 12/06/2019, 10:59

Scusate mi sto un pò confondendo ahah
Quindi studiare la derivata agli estremi dell'intervallo e se essa è limitata allora la funzione è lipschitziana è giusto ma dovrei approfondire il motivo per cui si può fare.
Invece altri metodi, oltre usare la definizioni, quali sono? in che dispense online li potrei studiare?
Smon97
New Member
New Member
 
Messaggio: 59 di 80
Iscritto il: 25/07/2017, 18:21

Re: finzione lipschitziana

Messaggioda dissonance » 12/06/2019, 11:14

Smon97 ha scritto:Quindi studiare la derivata agli estremi dell'intervallo e se essa è limitata allora la funzione è lipschitziana è giusto ma dovrei approfondire il motivo per cui si può fare.

La cosa che devi capire bene è più di base. E' vero che se una funzione derivabile ha la derivata limitata in un intervallo, allora essa è Lipschitziana, come dice Flamber nell'ultimo post. Ma il problema è un altro:

Come fai a dimostrare che una funzione è limitata?

Tu calcoli il limite agli estremi dell'intervallo di definizione, il che operativamente è spesso la cosa da fare, ma il motivo è più profondo e tu lo ignori: il motivo è il teorema di Weierstrass. Non flessi verticali e robe del genere\(^{[1]}\), è il teorema di Weierstrass la chiave di tutte queste cose. Se una funzione a valori reali è continua su un insieme compatto, allora essa ammette massimo e minimo. Questo teorema andrà applicato alla derivata di \(f\).

Tu hai spesso calcolato il limite agli estremi dell'intervallo perché una tipica situazione operativa è la seguente; ti si è data una funzione \(g\colon (a, b)\to \mathbb R\), continua. Qui Weierstrass NON si può applicare, perché \((a, b)\) non è un insieme compatto. Tuttavia, se esistono finiti i limiti di \(g\) in \(a\) e in \(b\), allora \(g\) si può prolungare per continuità ad \([a, b]\); è a questo prolungamento per continuità che si applica Weierstrass.

---
\([1]\). Come dice Flamber nel post precedente, che a mio avviso è corretto solo in prima approssimazione.
dissonance
Cannot live without
Cannot live without
 
Messaggio: 15432 di 15479
Iscritto il: 24/05/2008, 20:39
Località: Nomade

Re: finzione lipschitziana

Messaggioda Smon97 » 12/06/2019, 11:17

Ho capito, grazie a tutti. Mi riguarderò attentamente questi teoremi.
Smon97
New Member
New Member
 
Messaggio: 60 di 80
Iscritto il: 25/07/2017, 18:21

Re: finzione lipschitziana

Messaggioda gugo82 » 12/06/2019, 13:55

@Flamber:
Flamber ha scritto:
gugo82 ha scritto:@Flamber: Mi sa che hai le idee confuse pure tu…

In che senso?

Nel senso: qual è la definizione di punto di flesso? Puoi mai avere un flesso in un estremo dell’intervallo di definizione?
A che pro mettere in gioco questa nozione quando c’entra come il cavolo a merenda?
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 21661 di 21758
Iscritto il: 13/10/2007, 00:58
Località: Napoli

Re: finzione lipschitziana

Messaggioda vict85 » 12/06/2019, 13:57

Vorrei far notare che calcolare i limiti è un passaggio inutile nel tuo caso. La derivata è continua in \([-1,1]\); non hai bisogno di calcolarti i limiti per saperlo (è continua su tutto \(\mathbb{R}\) quindi lo è banalmente in ogni suo sottoinsieme aperto o chiuso). Il punto era appunto che aveva la derivata continua su un compatto e che quindi la derivata aveva un massimo e un minimo nell'insieme considerato. Nota che se la derivata non era continua, allora la funzione poteva ancora essere lipschitziana, ma non potevi usare Weierstrass per dimostrarlo.
Inoltre, nel tuo caso, il calcolo dei limiti per \((-\infty,+\infty)\) ha scopi diversi, infatti il punto importante è che la derivata è una funzione monotona crescente e quindi è limitata se lo è il suo limite all'infinito.

È comunque utile far notare che una funzione lipschitziana non è necessariamente derivabile e/o continua.
vict85
Moderatore
Moderatore
 
Messaggio: 9702 di 9734
Iscritto il: 16/01/2008, 01:13
Località: Berlin

Re: finzione lipschitziana

Messaggioda gugo82 » 12/06/2019, 14:00

@vict85: Proprio sull’inutilità della cosa volevo far riflettere lo OP.
Sono sempre stato, e mi ritengo ancora un dilettante. Cioè una persona che si diletta, che cerca sempre di provare piacere e di regalare il piacere agli altri, che scopre ogni volta quello che fa come se fosse la prima volta. (Freak Antoni)
Avatar utente
gugo82
Moderatore globale
Moderatore globale
 
Messaggio: 21662 di 21758
Iscritto il: 13/10/2007, 00:58
Località: Napoli

Precedente

Torna a Analisi matematica di base

Chi c’è in linea

Visitano il forum: alessio76, Mephlip, vict85 e 15 ospiti